直段求源〔一十八問〕

今有弦和和乘三相和，加弦冪，共得一百六十九步。只云弦較較乘弦較和，減股弦和乘股弦較，余一十五步。問句幾何？

答曰：三步。

術(shù)曰：立天元一為句，如積求之。得二十五萬三千一百二十五為正實(shí)，八十一萬八千一百為益上廉，二十七萬八千九百二十六為從三廉，二萬二千八百六十八為益五廉，一百八十一為從隅，七乘方開之得句，合問。

今有句弦和乘股弦和，減句弦較乘股弦較，余七十步。只云弦和和乘弦較和得七十二步。問股幾何？

答曰：四步。

術(shù)曰：立天元一為股，如積求之。得一百六十七萬九千六百一十六為正實(shí)，一十八萬六千六百二十四為益上廉，六千四百七十九為從三廉，七十為益五廉，一為益隅，七乘方開之得股，合問。

今有弦和較乘弦和和，加句弦較乘句弦和，得四十步。只云句冪與股弦和等。問弦?guī)缀危?

答曰：五步。

術(shù)曰：立天元一為弦，如積求之。得一千五百二十五為正實(shí)，一百四十為從方，五十四為益上廉，一十二為益下廉，一為正隅，三乘方開之得弦，合問。今有積減弦和較余一十步，只云句股和七步。問黃方幾何？

答曰：二步。術(shù)曰：立天元一為黃方，如積求之。得二百為益實(shí)，一百為從方，二為從廉，一為益隅，立方開之得黃方，合問。

今有積加平冪，減長冪，以平冪乘之，減和冪，余不及積冪八千四百六十步。只云長平較三步。問長、平各幾何？

答曰：平九步，長一十二步。術(shù)曰：立天元一為長，如積求之。得八千五百三十二為正實(shí)，一百二十三為益方，五十九為從廉，九為益隅，立方開之得長，合問。

今有積，加長，以半平乘之，得一千九百五十步。只云長五分之三減平三分之二，余七步。問長、平各幾何？

答曰：平一十二步，長二十五步。術(shù)曰：立天元一為長，如積求之。得一十三萬為益實(shí)，三千三百二十五為從方，六百為益廉，二十七為從隅，立方開之得長，合問。

今有積加三較，以長乘之，減三平，余九千七百四十四步。只云長取太半，平取弱半為共，不及一長四步。問長、平各幾何？

答曰：平一十六步，長二十四步。

術(shù)曰：立天元一為長，如積求之。得二萬九千八十八為益實(shí)，一百三十二為從方，五十一為益廉，四為正隅，立方開之得長，合問。

今有積冪減平，余一萬一千六百五十五步。只云長四分之一，平三分之一，和二分之一，共得一十六步二分步之一。問長、平各幾何？

答曰：平九步，長一十二步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得九十四萬四千五十五為益實(shí)，八十一為益方，三萬九千二百四為從上廉，三千九百六十為益下廉，一百為正隅，三乘方開之得平，合問。今有積，減較冪，余七十一步，只云三相和四十步。問長平和得幾何？

答曰：二十三步。

術(shù)曰：立天元一為長平和，如積求之。得四千七十一為益實(shí)，二百為從方，一為益隅，平方開之得和，合問。

今有積，加和，以積乘之，得二千一百二十步。只云長多于平三步，問積幾何？

答曰：四十步。

術(shù)曰：立天元一為直積，如積求之。得四百四十九萬四千四百為正實(shí)，四千二百四十九為益上廉，四為益下廉，一為正隅，三乘方開之得積，合問。

今有積，加斜冪得三百三十三步，只云并長、平、斜得三十六步。問弦?guī)缀危?

答曰：一十五步。

術(shù)曰：立天元一為弦，如積求之。得三百一十五為正實(shí)，三十六為益方，一為正隅，平方開之得弦，合問。

今有積減平，以積乘之，又減五平、四積，余二十七萬九千六百三十步。只云長取五分之一，平取三分之二，其長分子數(shù)如平分子數(shù)二分之一。問長、平各幾何？

答曰：平一十八步，長三十步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得五十萬三千三百三十四為益實(shí)，九為益方，一十二為益上廉，三為益下廉，五為正隅，三乘方開之得平，合問。

今有積冪，減二長、一平，余四萬六千五百七十八步。只云平自乘與長等，問長、平各幾何？

答曰：平六步，長三十六步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得四萬六千五百七十八為益實(shí)，一為益方，二為益上廉，一為正隅，五乘方開之得平，合問。

今有積，加一長、二平、三和、四較，自乘，減一和、二較、三平、四長，余一十五萬五千八百五步。只云平冪與較等，問長、平各幾何？

答曰：平五步，長三十步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得一十五萬五千八百五為益實(shí)，九為益方，七十四為從上廉，一百六十二為從二廉，九十九為從三廉，一十八為從下廉，一為正隅，五乘方開之得平，合問。

今有積，加三平，減一較，余自乘，減三平，加一較，得七萬八千四百一十四步。只云平自乘與和等，問長、平各幾何？

答曰：平七步，長四十二步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得七萬八千四百一十四為益實(shí)，五為益方，二十六為從上廉，二十為益二廉，一十四為從三廉，四為益下廉，一為正隅，五乘方開之得平，合問。今有積，加平，以長中半乘之，得三千九百步。只云長以平方開之，所得不及平七步。問長、平各幾何？

答曰：平一十二步，長二十五步。

術(shù)曰：立天元一為平，如積求之。得七千八百為益實(shí)，二千四百五十為從方，一千三百八十六為益上廉，二百九十五為從二廉，二十八為益下廉，一為正隅，四乘方開之得平，合問。

今有積，加一和、三較，以積乘之，減一長、二較，又長乘之，得一十四萬七千二百一十六步。只云平以立方開之，如長六分之一。問長、平各幾何？

答曰：平八步，長一十二步。

術(shù)曰：立天元一為開方數(shù)，如積求之，得一萬二千二百六十八為益實(shí)，九為益上廉，一為從三廉，七十二為從五廉，六為益七廉，一十八為正隅，八乘方開之得二步，即開方數(shù)。六之得長，合問。

今有積，以和乘之，減積，余以平乘之，加和，得一十七萬七千一百六十二步。只云和為益實(shí)，四為益方，三為從上廉，二為益下廉，一為正隅，三乘方開之，如平四分之一。問長、平各幾何？

答曰：平一十二步，長三十步。

術(shù)曰：立天元一為開方數(shù)，如積求之。得一十七萬七千一百六十二為益實(shí)，四為益方，三為從上廉，一百二十六為從二廉，四百六十五為從三廉，五百四十四為益四廉，五百一十二為從五廉，三百八十四為益六廉，一百六十為從七廉，六十四為益下廉，一十六為正隅，九乘方開之得三步，為開方數(shù)。四之即平，合問。