信息幾何數(shù)學基礎

目錄
前言 i
第1章 信息幾何簡介 1
參考文獻 3
第2章 微分幾何與黎曼幾何基礎 8
2.1 微分幾何基礎 8
2.1.1 三維歐氏空間中的*線理論簡介 8
2.1.2 三維歐氏空間中的*面理論簡介 9
2.2 黎曼幾何基礎 19
2.2.1 基本概念 19
2.2.2 仿射聯(lián)絡與黎曼度量 22
2.2.3 黎曼*率張量與*率 27
2.2.4 等距映射與測地線 36
2.2.5 指數(shù)映射與雅可比場 42
2.2.6 黎曼流形上的算子 44
參考文獻 46
第3 章李群與李代數(shù) 48
3.1 矩陣指數(shù)與矩陣對數(shù) 48
3.2 群 50
3.3 李群的基本內(nèi)容 52
3.4 矩陣李群的拓撲性質(zhì) 56
3.5 李代數(shù)與不變的黎曼度量 61
3.6 矩陣李群的李代數(shù)65
3.7 緊致李群的幾何結(jié)構(gòu) 70
3.8 李變換群 73
3.9 矩陣李群的幾何結(jié)構(gòu) 76
3.9.1 黎曼梯度 76
3.9.2 一般線性群上的黎曼度量 77
3.9.3 正交群與酉群上的黎曼梯度 79
3.9.4 實辛群的幾何結(jié)構(gòu) 83
3.9.5 洛倫茲群的幾何結(jié)構(gòu) 88
參考文獻 94
第4 章正定矩陣流形的幾何結(jié)構(gòu) 96
4.1 正定矩陣流形SPD(n)96
4.2 SPD(n)上的仿射不變度量 98
4.3 SPD(n)上的對數(shù)歐氏度量 105
4.4 SPD(n)上的Wasserstein度量 111
4.4.1 預備知識——矩陣的平方根 111
4.4.2 GL(n，R)到SP D(n)的黎曼淹沒 112
4.4.3 GL(n，R)上點的切空間的直和分解 112
4.4.4 SP D(n)上黎曼度量的顯式表達 114
4.4.5 SP D(n)上任意兩點之間*短距離的顯式表達 118
4.4.6 (SP D(n)，g)的對稱度 121
4.4.7 測地線 123
4.4.8 聯(lián)絡 128
4.4.9 *率 132
4.5 SPD(n)上的幾何平均值 137
4.5.1 歐氏空間中的幾何平均值 137
4.5.2 基于黎曼度量的幾何平均值 138
參考文獻 145
第5章 **信息幾何理論 149
5.1 統(tǒng)計流形與Fisher信息度量 149
5.2 對偶聯(lián)絡 151
5.3 指數(shù)分布族流形 157
5.4 對偶平坦流形 166
5.5 *大熵 169
5.6 Kullback-Leibler散度 171
5.7 廣義畢達哥拉斯定理 178
參考文獻 180
索引 183