代數(shù)學教程 第2卷：抽象代數(shù)基礎

第一章  群論基礎//1
§1  帶有運算的集合  //1
1.1  代數(shù)運算的基本概念  //1
1.2  代數(shù)系統(tǒng)的特殊元素——單位元·零元//4
1.3  二元運算的一般性質(zhì)——結(jié)合律·交換律·分配律  //6
1.4  逆運算·逆元  //10
1.5  代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)  //12
1.6  代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)  //14
§2  群的基本概念  //17
2.1  群的概念·群的例子  //17
2.2  群的性質(zhì)·群的第二定義  //20
2.3  有限群的另一定義  //22
2.4  群元素的階  //25
§3  變換群·循環(huán)群  //27
3.1  變換群  //27
3.2  置換·對稱群  //33
3.3  循環(huán)群·整數(shù)加群與剩余類群  //37
§4  子群  //44
4.1  群的子集  //44
4.2  子群//45
4.3  交集與生成元  //47
4.4  生成系  //52
4.5  陪集  //55
4.6  循環(huán)群的子群//60
4.7  直積  //62
4.8  1階到8階群的概論  //68
4.9  乘積定理·雙陪集  //74
§5  正規(guī)子群  //77
5.1  正規(guī)子群·單純?nèi)? //77
5.2  商群//81
5.3  共軛類·中心化子·正規(guī)化子  //83
5.4  群的同態(tài)·同態(tài)基本定理  //87
5.5  商群的子群  //91
5.6  兩個同構(gòu)定理  //94
5.7  群的自同構(gòu)  //97
5.8  交換群的鑒定·換位子群  //100
§6  子群列  //102
6.1  正規(guī)群列與合成群列//102
6.2  合成群列  //105
6.3  可解群及其判定  //107
6.4  可解群的性質(zhì)·有限群的情形  //109
§7  置換群理論  //112
7.1  S,的共軛類  //112
7.2  對換  //115
7.3  交代群  //118
7.4穩(wěn)定子群  //123
7.5  可遷群  //126
7.6  非可遷群  //130
7.7  置換表示  //132
§8  有限群的素數(shù)冪子群  //136
8.1  柯西定理  //136
8.2  西羅定理  //138
8.3  推廣  //141
第二章  環(huán)論基礎//146
§1  環(huán)的基本概念  //146
1.1  環(huán)的概念  //146
1.2  環(huán)的性質(zhì)  //148
1.3  交換律·單位元·零因子·整環(huán)  //154
1.4  除環(huán)·域  //157
1.5  無零因子環(huán)的特征  //164
1.6  子環(huán)·環(huán)的同態(tài)  //166
1.7  商域  //169
§2  理想與環(huán)的同態(tài)  //172
2.1  理想  //172
2.2  理想的交與和·主理想  //174
2.3  理想的乘法  //178
2.4  理想的除法  //179
2.5  商環(huán)  //182
2.6  環(huán)的同態(tài)定理  //184
2.7  素理想和極大素理想  //186
2.8  環(huán)的直和  //190
§3  整環(huán)內(nèi)的因子分解  //193
3.1  單位·不可分解元·素元  //193
3.2  元素的相伴  //197
3.3  唯一分解環(huán)的概念//199
3.4  唯一分解環(huán)的特征與性質(zhì)  //201
3.5  理想與整除性  //204
3.6  主理想環(huán)  //206
3.7  歐氏環(huán)  //208
§4  多項式環(huán)  //211
4.1  交換環(huán)上的多項式環(huán)  //211
4.2  整環(huán)上的一元多項式環(huán)  //215
4.3  高斯整環(huán)的多項式擴張  //219
4.4  諾特環(huán)  //223
4.5  理想的既約分解  //227
§5  有序環(huán)和有序域  //229
5.1  環(huán)和域的有序化  //229
5.2  分離性和稠密性  //235
§6  布爾代數(shù)與格  //237
6.1  基本定義  //237
6.2  定律：同算術定律類比  //238
6.3  布爾代數(shù)  //240
6.4  其他基本定律的推導  //242
6.5  布爾多項式的標準型  //244
6.6  半序//247
6.7  格  //248
6.8  集合表示  //250
第三章  域論基礎   //254
§1  域的擴張  //254
1.1  子域·擴域·素域  //254
1.2  添加  //257
1.3  單純擴張·代數(shù)擴張與超越擴張  //259
§2  域的代數(shù)擴張  //261
2.1  域上的代數(shù)元素  //261
2.2  單純擴張的存在性與唯一性  //263
2.3  次數(shù)與有限擴張  //266
2.4  有限擴張的基本定理  //268
2.5  多重代數(shù)擴張  //270
2.6  跡與范數(shù)  //272§3  分裂域·正規(guī)性  //276
3.1  分裂域  //276
3.2  正規(guī)擴域·分裂域的正規(guī)性  //279
3.3  代數(shù)閉包  //281
§4  素域上的單位根域·有限域  //286
4.1  單位根//286
4.2  分圓多項式  //288
4.3  有限域  //291
§5  可分與不可分擴張  //295
5.1  可分多項式與不可分多項式  //295
5.2  可分與(純)不可分元素  //299
5.3  可分與不可分擴張·完全域及不完全域  //300
5.4  施坦尼茨定理·本原元素定理  //304
第四章  伽羅瓦理論   //310
§1  伽羅瓦群  //310
1.1  伽羅瓦群的概念  //310
1.2  群特征標·子群與子域  //312
1.3  伽羅瓦擴域·伽羅瓦群  //318
§2  多項式的伽羅瓦群  //320
2.1  多項式的伽羅瓦群的定義及可遷性  //320
2.2  多項式的伽羅瓦群的計算  //323
§3  伽羅瓦理論的基本定理  //327
3.1  伽羅瓦群的性質(zhì)  //327
3.2  伽羅瓦理論的基本定理  //329
3.3  共軛的域·正規(guī)擴域的第二種定義  //332
3.4  共軛映射的個數(shù)  //334
3.5  應用：對稱多項式基本定理和代數(shù)基本定理的證明  //337
§4  具有特殊群的正規(guī)擴域  //339
4.1  分圓擴域  //339
4.2  循環(huán)擴域  //343
4.3  可解擴域與根式擴張  //349
§5  代數(shù)方程的根號解問題  //352
5.1  代數(shù)方程的根號解  //352
5.2  n次一般方程  //354
5.3  二次、三次與四次方程  //357
5.4  有理數(shù)域上的素數(shù)次分圓方程  //362
5.5  素數(shù)次的多項式  //365
5.6  圓規(guī)與直尺作圖//370
參考文獻//374