數(shù)學大百科：生活中無處不在的數(shù)學及應用

第 1章 初中數(shù)學回顧 001
1.0　導言　002
要點是擴展、抽象和邏輯　002
1.1　正負數(shù)　004
1.1.1　負數(shù)的計算可以用數(shù)軸來思考　004
應用　銀行貸款與溫度　005
1.2　無理數(shù)與平方根　006
1.2.1　要是沒有無理數(shù)就好了……　006
1.2.2　為什么一定要分母有理化？　007
1.3　代數(shù)式　008
1.3.1　使用代數(shù)式的原因　008
1.3.2　抽象化的好處　009
應用　計算機程序要用代數(shù)式編寫　009
1.4　交換律、分配律和結(jié)合律　010
1.4.1　顯而易見的交換律　010
1.4.2　為什么代數(shù)式中不使用“÷”？　011
1.5　乘法公式與因式分解　012
1.5.1　不要想了，讓你的手作出反應！　012
1.5.2　為什么要因式分解？　013
應用　通過因式分解來解釋員工的努力與公司的效益之間
的關(guān)系　013
1.6　一元一次方程　014
1.6.1　方程是為了求未知數(shù)而建立的等式　015
應用　求商品的價格　015
1.7　聯(lián)立方程　016
1.7.1　聯(lián)立方程是具有多個未知數(shù)的方程　016
應用　求蘋果和橘子的個數(shù)　017
1.8　比例　018
1.8.1　身邊的比例的例子　018
1.8.2　坐標是什么？　019
1.9　反比例　020
1.9.1　身邊的反比例的例子　020
應用　速度、時間、距離法則 = 比例·反比例　021
1.8.2　坐標是什么？　021
1.10　圖形的性質(zhì)（三角形、四邊形、圓）　022
1.10.1　圖形中最低限度要掌握的內(nèi)容　023
1.11　圖形的全等和相似　024
1.11.1　相似的含義　024
應用　為什么不能制造一架巨大的飛機　025
1.12　證明　026
1.12.1　為什么要學習證明？　026
應用　等腰三角形底角相等的證明　027
1.13　勾股定理　028
1.13.1　勾股定理很重要　028
1.13.2　把勾股定理擴展到立體圖形　029
應用　電視屏幕的尺寸　029
專欄　絕對值就是距離　030
第　2章一次、二次函數(shù)與方程、不等式　031
2.0　導言　032
函數(shù)用來做什么？　032
為什么一次函數(shù)和二次函數(shù)很重要　032
如果通過圖像來思考，方程和不等式就比較容易理解　033
2.1　函數(shù)及其定義　034
2.1.1　函數(shù)是什么　034
2.1.2　反函數(shù)、多變量函數(shù)、復合函數(shù)　035
2.2　一次函數(shù)的圖像　036
2.2.1　一次函數(shù)是直線　036
應用　為什么斜率和截距很重要　036
2.3　二次函數(shù)及其圖像　038
2.3.1　二次函數(shù)是拋物線　038
應用　為什么頂點很重要？　039
2.4　一元二次方程的解法　040
2.4.1　一元二次方程的三種解法　041
應用　點心鋪的利潤　041
2.5　一元二次方程的虛數(shù)解　042
2.5.1　當根號內(nèi)為負數(shù)時　042
應用　虛數(shù)的價格!　043
2.6　一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系　044
2.6.1　判別式是為了稍微方便一點　044
應用　快速解決問題　045
2.7　高次函數(shù)　046
2.7.1　隨著次數(shù)增加而蜿蜒曲折　046
應用　使用高次函數(shù)擬合數(shù)值數(shù)據(jù)　047
2.8　因式定理和余式定理　048
2.8.1　通過具體的例子來思考，因式定理并不難　048
2.8.2　整式的長除法　049
應用　高次方程的解法　049
2.9　不等式的解法　050
2.9.1　不等式兩邊乘以負數(shù)時要注意！　050
2.9.2　二次不等式的解法　051
2.10　不等式與區(qū)域　052
2.10.1　不等式與區(qū)域的問題要仔細地畫圖表示　052
應用　通過線性規(guī)劃最大化銷售額　053
專欄　整數(shù)的素因子分解守護著網(wǎng)絡(luò)和平　054
第3章指數(shù)、對數(shù)　055
3.0　導言　056
指數(shù)可以方便地處理很大的數(shù)和很小的數(shù)　056
對數(shù)是指數(shù)的逆　056
3.1　指數(shù)　058
3.1.1　指數(shù)是一種表示大數(shù)的技術(shù)　058
應用　求探測器“隼鳥號”的速度　059
3.1　指數(shù)的擴展　060
3.2.1　為什么要擴展指數(shù)　060
3.2.2　試著擴展指數(shù)　061
3.3　指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)　062
3.3.1　指數(shù)函數(shù)的特征　062
3.3.2　指數(shù)函數(shù)的圖像　063
應用　復利計算　063
3.4　對數(shù)函數(shù)的定義　064
3.4.1　對數(shù)是指數(shù)的逆　064
應用　對數(shù)的優(yōu)勢是什么？　065
3.5　對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)　066
3.5.1　對數(shù)函數(shù)的特征　067
應用　用對數(shù)定義熵　067
3.6　換底公式　068
3.6.1　使用換底公式的問題示例　068
3.6.2　為什么底數(shù)不能是1 或負數(shù)？　069
3.7　常用對數(shù)與自然對數(shù)　070
3.7.1　常用對數(shù)和自然對數(shù)的特征　070
應用　使用對數(shù)表進行計算　071
3.7.2　如何在計算機上計算指數(shù)和對數(shù)？　073
3.8　對數(shù)圖的用法　074
3.8.1　怪異的軸的含義　074
應用　用對數(shù)圖表示二極管電流- 電壓特性　075
3.9　指數(shù)和對數(shù)的物理單位　076
3.9.1　表示指數(shù)的詞頭　076
應用　分貝和震級　077
專欄　數(shù)學世界的炸彈　078
第4章三角函數(shù)　079
4.0　導言　080
三角函數(shù)不是三角形的函數(shù)，而是表示波的函數(shù)　080
三角函數(shù)的要點　080
4.1　三角函數(shù)的基本公式　082
4.1.1　首先通過直角三角形掌握三角函數(shù)　082
應用　用三角法求高度　083
4.2　三角函數(shù)的擴展與圖像　084
4.2.1　定義從直角三角形變?yōu)閱挝粓A　084
4.2.2　畫出三角函數(shù)的圖像　085
應用　用三角函數(shù)表示波　086
4.3　三角函數(shù)的各個公式　088
4.3.1　讓考生頭疼的公式們　088
應用　智能手機中使用的無線電波頻譜搬移　089
4.4　弧度制（弧度）　090
4.4.1　為什么使用弧度制？　090
4.4.2　計算機中三角函數(shù)的角度單位　091
4.5　正弦定理和余弦定理　092
4.5.1　考試中經(jīng)常出現(xiàn)的正弦定理、余弦定理　092
應用　三角形的各種面積公式　093
4.6　傅里葉級數(shù)　094
4.6.1　所有的波都歸結(jié)為正弦余弦　094
應用　聲、光與頻率的關(guān)系　095
4.7　離散余弦變換　096
4.7.1　智能手機照片中用到的三角函數(shù)　096
應用　圖像的壓縮方法　098
專欄　20 與20.00 的差異　100
第5章導數(shù)　101
5.0　導言　102
何為導數(shù)？　102
能處理無窮了　103
與積分的關(guān)系　103
5.1　極限與無窮大　106
5.1.1　容易被誤解的極限　106
應用　復雜式子的閱讀理解方法　107
5.2　導數(shù)（求導的定義）　108
5.2.1　首先掌握求導的大體印象　108
5.3　導函數(shù)　110
5.3.1　xn 的導數(shù)很簡單　110
5.3.2　導函數(shù)的含義　111
5.4　三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的導數(shù)　112
5.4.1　三角函數(shù)的導數(shù)　112
5.4.2　自然常數(shù)登場　113
5.5　函數(shù)積的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)　114
5.5.1　驗證公式的方法　115
5.5.2　像分數(shù)一樣對待　115
5.6　切線的公式　116
5.6.1　如果理解了導數(shù)，切線應該很容易　117
應用　在計算機上編輯曲線　117
5.7　高階導數(shù)與函數(shù)的凹凸性　118
5.7.1　高階導數(shù)　118
應用　函數(shù)的凹凸性　119
5.8　中值定理與可導性　120
5.8.1　顯然的定理？　120
5.8.2　可導性　121
專欄　不是分數(shù)？　122
第6章積分　123
6.0　導言　124
何為積分？　124
通過積分計算面積的方法　124
6.1　積分的定義與微積分基本定理　126
6.1.1　積分是求面積的工具　127
6.1.2　積分符號的含義　128
6.1.3　積分是求導的逆運算　128
6.2　不定積分　130
6.2.1　不定積分的方法　131
6.2.2　積分常數(shù)C 是什么　131
6.3　定積分的計算方法　132
6.3.1　定積分的計算方法　132
6.3.2　定積分的區(qū)間，面積的符號　133
6.4　分部積分法　134
6.4.1　顯而易見的交換律　134
6.4.2　為什么代數(shù)式中不使用“÷”？　135
6.5　換元積分法　136
6.5.1　換元積分法是復合函數(shù)求導公式的逆　137
6.6　積分與體積　138
6.6.1　體積是把立體劃分為無數(shù)塊薄板算出　139
6.7　曲線的長度　140
6.7.1　曲線的長度是通過將其分成無限短的直線段來計算　141
6.8　位置、速度和加速度的關(guān)系　142
應用　牛頓運動方程　143
專欄　牛頓與萊布尼茨構(gòu)建了微積分　144
第7章高等微積分　145
7.0　導言　146
本章的學習對高中生也有好處　146
微分方程的解是函數(shù)　146
處理多元函數(shù)　147
7.1　微分方程　148
7.1.1　微分方程是求函數(shù)的方程　148
7.1.2　微分方程的求解方法　149
應用　運動方程，放射性元素衰變　150
7.2　拉普拉斯變換　152
7.2.1　通過拉普拉斯變換容易求解微分方程　152
應用　求解電子電路的微分方程　153
7.3　偏導數(shù)與多元函數(shù)　154
7.3.1　多元函數(shù)的導數(shù)是偏導數(shù)　154
應用　多元函數(shù)的最大、最小值問題　155
7.4　拉格朗日乘數(shù)法　156
7.4.1　拉格朗日乘數(shù)法不用考慮“為什么”　157
應用　統(tǒng)計分析的最大值和最小值　157
7.5　多重積分　158
7.5.1　多元函數(shù)的積分是多重積分　159
應用　根據(jù)密度算出重量　159
7.6　線積分與面積分　160
7.6.1　多元函數(shù)有很多積分路徑　161
應用　計算每條路徑所需的能量　161
專欄　ε-δ 語言　162
第8章數(shù)值分析　163
8.0　導言　164
沒有指令，計算機什么也做不了　164
數(shù)值處理的難度　164
8.1　線性近似公式　166
8.1.1　函數(shù)用切線來近似　166
應用　單擺的等時性是近似的　167
8.2　泰勒展開式、麥克勞林展開式　168
8.2.1　麥克勞林展開式用xn 之和來表示函數(shù)　169
應用　使用對數(shù)表進行計算　169
8.3　牛頓迭代法　170
8.3.1　用切線解方程的方法　170
應用　讓計算機解方程　171
8.4　數(shù)值微分　172
8.4.1　在數(shù)值計算中，導數(shù)就是差商　172
應用　自行車加速數(shù)據(jù)的求導　173
8.5　數(shù)值積分（梯形公式、辛普森公式）　174
8.5.1　基于什么來求面積？　175
應用　指數(shù)函數(shù)積分值的計算　175
8.6　微分方程的數(shù)值解法（歐拉法）　176
8.6.1　歐拉法是用切線來近似曲線　176
8.6.2　雙擺的運動　177
專欄　計算機用二進制進行計算　178
第9章數(shù)列　179
9.0　導言　180
學習數(shù)列的意義是學習離散　180
在數(shù)列中求和很重要　181
9.1　等差數(shù)列　182
9.1.1　相鄰項之差為常數(shù)，因此是等差數(shù)列　182
應用　數(shù)一數(shù)金字塔的磚的數(shù)量　183
9.2　等比數(shù)列　184
9.2.1　定義從直角三角形變?yōu)閱挝粓A　184
應用　計算逸失利益的萊布尼茨系數(shù)　185
9.3　符號Σ 的用法　186
9.3.1　Σ（Sigma）并不可怕　186
應用　Σ 的標記方法　187
9.4　遞推公式　188
9.4.1　遞推公式是局部地觀察數(shù)列的式子　188
應用　元胞自動機和斐波那契數(shù)列　189
9.5　無窮級數(shù)　190
9.5.1　即使把無窮個數(shù)加起來也可能不會很大　190
應用　把循環(huán)小數(shù)用分數(shù)表示　191
9.6　數(shù)學歸納法　192
9.6.1　數(shù)學歸納法就像多米諾骨牌　192
9.6.2　數(shù)學歸納法的悖論　193
專欄　專欄：習慣希臘字母　194
第　10章圖形與方程　195
10.0　導言　196
用數(shù)學式子來表示圖形　196
極坐標的存在是為了讓人輕松　196
10.1　直線的方程　198
10.1.1　作為圖形的直線方程　199
應用　繪制直線的算法　199
10.2　圓的方程　200
10.2.1　把圓作為方程來看　200
應用　繪制圓的方法　201
10.3　二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）　202
10.3.1　橢圓、雙曲線、拋物線的特征　203
應用　衛(wèi)星的軌道　203
10.4　平移圖形的方程　204
10.4.1　移動圖形的方法　205
應用　CG 中也用到的仿射變換　205
10.5　中心對稱和軸對稱　206
10.5.1　對稱變換引起的方程變化　207
應用　奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分　207
10.6　旋轉(zhuǎn)　208
10.6.1　旋轉(zhuǎn)由三角函數(shù)表示　209
應用　轉(zhuǎn)動參考系中的離心力和科里奧利力　209
10.7　參數(shù)　210
10.7.1　參數(shù)不是敵人　211
應用　擺線分析　211
10.8　極坐標　212
10.8.1　極坐標是指定方向和距離的坐標系　213
應用　船舶航行　213
10.9　空間圖形的方程　214
10.9.1　通過比較二維（平面）和三維（空間）來 理解本質(zhì)　215
專欄　數(shù)學中必需的空間認知能力　216
第　11章向量　217
11.0　導言　218
向量不僅僅是箭頭　218
向量乘法可以用多種方式定義　219
11.1　作為箭頭的向量　220
11.1.1　作為箭頭的向量是具有大小和方向的量　221
應用　力的分解　221
11.2　向量的坐標表示、位置向量　222
11.2.1　用數(shù)字表示向量　223
應用　內(nèi)分線段的點　223
11.3　向量的線性無關(guān)　224
11.3.1　線性無關(guān)很常見，線性相關(guān)是例外　224
應用　坐標軸的變換　225
11.4　向量的內(nèi)積（平行和垂直的條件）　226
11.4.1　向量乘法不止一種　226
應用　給予貨物的能量　227
11.5　平面圖形的向量式方程　228
１1.5.1　為什么使用向量式方程　229
11.6　空間向量　230
11.6.1　空間向量的變與不變　231
應用　超弦理論：空間實際上是9 維的　231
11.7　空間圖形的向量式方程　232
11.7.1　空間圖形凸顯向量式方程的優(yōu)點　233
應用　三維CAD 數(shù)據(jù)的二維化　233
11.8　向量的外積　234
11.8.1　外積的結(jié)果為向量　234
應用　坐標軸的變換　235
11.9　速度向量與加速度向量　236
11.9.1　可以用向量分析平面上的運動　236
應用　勻速圓周運動的分析　237
11.10　梯度、散度、旋度　238
11.10.1　向量微積分并不可怕　239
應用　抽象化是價值　239
專欄　數(shù)學中必需的空間認知能力　240
第　12章矩陣　241
12.0　導言　242
矩陣用于向量的運算　242
矩陣與高中數(shù)學的關(guān)系　242
12.1　矩陣的基礎(chǔ)及計算　244
12.1.1　注意矩陣的乘積　245
應用　程序的矩陣和數(shù)組　245
12.2　單位矩陣與逆矩陣、行列式　246
12.2.1　矩陣的除法使用逆矩陣　246
12.3　矩陣與聯(lián)立方程組　248
12.3.1　用矩陣也可以求解聯(lián)立方程組　248
應用　用高斯消元法解聯(lián)立方程組　249
12.4　矩陣與線性變換　250
12.4.1　簡潔的表示很有價值　251
應用　平移的表示方法　251
12.5　特征值和特征向量　252
12.5.1　直觀地理解特征值、特征向量　253
應用　矩陣的對角化　253
12.6　3×3 矩陣　254
12.6.1　隨著矩陣變大，計算變得復雜　255
應用　用高斯消元法求逆矩陣　255
專欄　應該在高中數(shù)學教矩陣嗎？　256
第　13章數(shù)　257
13.0　導言　258
由人決定虛實　258
為什么要特意使用復平面？　258
13.1　復數(shù)的基礎(chǔ)　260
13.1.1　注意復數(shù)的絕對值　260
應用　用復數(shù)表示反射系數(shù)　261
13.2　復平面與極坐標形式　262
13.2.1　復數(shù)與旋轉(zhuǎn)很契合　263
13.3　歐拉公式　264
13.3.1　連接指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式　264
應用　交流電路的復數(shù)表示　265
13.4　傅里葉變換　266
13.4.1　傅里葉變換的含義　267
13.4.2　函數(shù)的正交和內(nèi)積是什么？　267
應用　無線通信技術(shù)與傅里葉變換　268
13.5　四元數(shù)（Quaternion）　270
13.5.1　通過四元數(shù)加深復數(shù)的理解　271
應用　CG 與火箭的旋轉(zhuǎn)　271
專欄　虛數(shù)時間是什么？　272
第　14章概率　273
14.0　導言　274
概率的關(guān)鍵是語文的理解　274
現(xiàn)實的概率與數(shù)學的概率　274
14.1　情況數(shù)　276
14.1.1　情況數(shù)就是不重不漏　277
14.1.2　加法還是乘法？　277
14.2　排列數(shù)公式　278
14.2.1　考慮順序時使用排列數(shù)公式　278
應用　最短路徑問題　279
14.3　組合數(shù)公式　280
14.3.1　不考慮順序時使用組合數(shù)公式　280
14.3.2　排列與組合的總結(jié)　282
應用　從楊輝三角推導出二項式定理　282
14.4　概率的定義　284
14.4.1　“等可能”的問題　285
應用　古典概率與試驗概率　285
14.5　概率的加法定理　286
14.5.1　“互斥”是指沒有公共部分　287
14.6　獨立事件的概率公式　288
14.6.1　要從反面來理解獨立　288
應用　購買紙尿褲的概率和購買啤酒的概率　289
14.7　獨立重復試驗的概率公式　290
14.7.1　獨立重復試驗考慮組合　290
應用　用于風險管理的泊松分布　291
14.8　條件概率和概率的乘法定理　292
14.8.1　條件概率是分母發(fā)生了變化　292
14.9　貝葉斯定理　294
14.9.1　如果理解了條件概率，定理的機制就很簡單　294
應用　垃圾郵件判定　294
專欄　蒙特卡羅方法　296
第　15章統(tǒng)計學基礎(chǔ)　297
15.0　導言　298
通過均值和標準差理解統(tǒng)計學的一半　298
正態(tài)分布是統(tǒng)計學上最大的發(fā)現(xiàn)　298
統(tǒng)計學成立的前提　299
15.1　均值　300
15.1.1　為什么要求均值？　300
應用　收入分布的分析　301
15.2　方差與標準差　302
15.2.1　標準差是離散程度的指標　303
15.2.2　為什么要平方？　304
15.2.3　用計算機計算方差和標準差時的注意事項　305
應用　過程能力指數(shù)　305
15.3　相關(guān)系數(shù)　306
15.3.1　相關(guān)系數(shù)表示兩組數(shù)據(jù)之間相關(guān)性的強度　307
應用　投資組合　307
15.4　概率分布與期望值　308
應用　賭博的期望值　309
15.5　二項分布、泊松分布　310
15.5.1　二項分布和泊松分布的關(guān)系　311
應用　安打1 次數(shù)、不合格品個數(shù)　311
15.6　正態(tài)分布　312
15.6.1　為什么正態(tài)分布如此重要？　312
應用　正態(tài)分布的局限　313
15.7　偏度、峰度、正態(tài)概率圖　314
15.7.1　把握偏離正態(tài)分布的程度　315
應用　正態(tài)概率圖的用法　315
15.8　大數(shù)定律與中心極限定理　316
15.8.1　多少才算“很多”？　316
15.8.2　中心極限定理中呈現(xiàn)正態(tài)分布的是“樣本均值”　317
專欄　數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的靈魂　318
第　16章高等統(tǒng)計學　319
16.0　導言　320
完全交給計算機是不行的　320
統(tǒng)計推斷是根據(jù)樣本對總體作出推斷　320
回歸分析使預測未來成為可能　321
16.1　總體均值的區(qū)間估計　322
16.1.1　從樣本的統(tǒng)計值推斷總體均值　322
應用　日本成年男性的平均身高　323
16.2　總體比例的區(qū)間估計　324
16.2.1　從樣本的統(tǒng)計值推斷總體均值　324
應用　電視收視率　325
16.3　假設(shè)檢驗　326
應用　工廠之間產(chǎn)品的波動　327
16.4　簡單回歸分析　328
16.4.1　回歸分析的含義　329
應用　廣告效果　329
16.5　多元回歸分析　330
16.5.1　多元回歸是具有多個自變量的回歸分析　330
應用　天氣條件與產(chǎn)量的關(guān)系　331
16.6　主成分分析　332
16.6.1　主成分分析的目標　332
應用　品牌形象調(diào)查　333
16.7　因子分析　334
16.7.1　因子分析聚焦于意義　335
應用　顧客調(diào)查問卷分析　335
專欄　實用數(shù)學的最大敵人　336
結(jié)束語　337