變分方法與交叉科學

目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 變分原理——自然法則 1
1.2 交叉科學 2
1.2.1 社會科學方面 3
1.2.2 自然科學方面 3
1.3 半線性變分問題 5
第2章 拓撲與變分框架 10
2.1 拓撲空間 10
2.1.1 定義 10
2.1.2 度量空間 10
2.1.3 拓撲屬性 11
2.1.4 緊致性 13
2.1.5 拓撲基 13
2.2 賦范線性空間和線性算子 14
2.2.1 賦范線性空間 14
2.2.2 有界算子 15
2.2.3 閉算子 16
2.2.4 自伴算子 19
2.2.5 自伴算子的譜族 20
2.2.6 自伴算子譜的性質(zhì) 23
2.2.7 插值理論 24
2.3 變分框架 27
2.4 Lp-空間的基本性質(zhì) 28
第3章 臨界點理論 31
3.1 Lipschitz 單位分解 31
3.2 局部凸拓撲向量空間上的形變引理 40
3.3 臨界點定理 50
第4章 Hamilton 系統(tǒng)的同宿軌 60
4.1 關(guān)于周期性 Hamilton 量的存在性和多重性結(jié)果 60
4.2 Hamilton 算子的譜 64
4.3 變分框架 65
4.4 環(huán)繞結(jié)構(gòu) 67
4.5 (C)c-序列 70
4.6 主要結(jié)論的證明 79
4.7 非周期 Hamilton 算子 81
4.7.1 變分框架 82
4.7.2 環(huán)繞結(jié)構(gòu) 87
4.7.3 (C)c-條件 89
4.7.4 定理 4.7.1 的證明 92
第5章 非線性 Schrodinger 方程 94
5.1 引言及主要結(jié)論 94
5.2 變分框架 97
5.3 環(huán)繞結(jié)構(gòu) 98
5.4 (C)c-序列 101
5.5 存在性和多重性的證明 109
5.6 Schrodinger 系統(tǒng)半經(jīng)典解 110
5.6.1 等價的變分問題 112
5.6.2 定理 5.6.3 的證明 117
5.6.3 定理 5.6.4 的證明 122
第6章 反應(yīng)-擴散系統(tǒng) 125
6.1 引言 125
6.2 變分框架 127
6.3 反應(yīng)-擴散系統(tǒng)無窮多幾何解 133
6.3.1 基本引理 134
6.3.2 定理 6.3.1 的證明 138
6.3.3 定理 6.3.2 的證明 140
6.4 反應(yīng)-擴散系統(tǒng)集中行為 141
6.4.1 抽象的臨界點定理 143
6.4.2 修正泛函 155
6.4.3 群作用 159
6.4.4 幾何結(jié)構(gòu)與 G -弱緊性 160
6.4.5 自治系統(tǒng) 167
6.4.6 主要結(jié)論的證明 171
6.5 一些擴展 178
6.5.1 更一般的非線性 178
6.5.2 更一般的系統(tǒng) 179
第7章 非線性 Dirac 方程 189
7.1 引言 189
7.2 變分框架 191
7.3 帶有非線性位勢 Dirac 方程解的集中性 195
7.3.1 極限方程 199
7.3.2 極小能量解的存在性 201
7.3.3 衰減估計 208
7.3.4 定理 7.3.1 的證明 209
7.4 帶有局部線性位勢 Dirac 方程解的集中性 209
7.4.1 極限方程 219
7.4.2 改進方程解的存在性 227
7.4.3 定理 7.4.1 和定理 7.4.2 的證明 234
7.5 帶有競爭位勢 Dirac 方程解的集中性 235
7.5.1 極限方程 247
7.5.2 基態(tài)解的存在性 248
7.5.3 基態(tài)解的集中性和收斂性 253
7.5.4 衰減估計 257
7.5.5 定理 7.5.4 的證明 260
7.6 自旋流形上的 Dirac 方程 260
7.6.1 Dirac 算子 260
7.6.2 分歧現(xiàn)象 266
7.6.3 邊值問題 277
參考文獻 287