高等工程數學

目錄
前言
常用符號
第1章 距離與范數 1
1.1 距離空間、極限與連續(xù)性 1
1.2 距離空間的可分性、完備性與緊性 4
1.2.1 可數集 4
1.2.2 距離空間的可分性 6
1.2.3 距離空間的完備性 6
1.2.4 距離空間的列緊性 8
1.3 壓縮映射原理 9
1.4 范數與賦范空間， Banach空間 12
1.4.1 范數與賦范線性空間 12
1.4.2 賦范線性空間的性質 12
1.4.3 有限維賦范線性空間 14
1.5 Hilbert空間， 正交系 16
1.5.1 內積的一般概念 16
1.5.2 正交系 17
1.6 向量范數， 矩陣范數及其性質 20
1.6.1 向量范數 20
1.6.2 矩陣范數及其性質 22
1.6.3 向量范數、矩陣范數的相容性 28
1.7 矩陣的譜半徑， 條件數 30
1.7.1 矩陣的譜半徑 30
1.7.2 矩陣序列及矩陣級數 31
1.7.3 矩陣的條件數 36
1.7.4 矩陣的條件數在誤差估計中的應用 36
第1章 習題 39
第2章 矩陣的標準形與特征值計算 42
2.1 λ-矩陣及標準形、不變因子和初等因子 42
2.1.1 λ-矩陣的概念 43
2.1.2 λ-矩陣的Smith標準形、不變因子和行列式因子 44
2.1.3 初等因子 47
2.2 Jordan標準形 48
2.2.1 矩陣相似的條件 48
2.2.2 矩陣的Jordan標準形 48
2.2.3 Jordan標準形的應用 53
2.3 酉相似標準形 55
2.3.1 正規(guī)矩陣對角化 56
2.3.2 正定矩陣 59
2.4 特征值的隔離 61
2.4.1 蓋爾圓定理 61
2.4.2 特征值的隔離 63
2.5 特征值的冪迭代法、逆冪迭代法 65
2.5.1 冪迭代法 65
2.5.2 冪迭代法的加速 69
2.5.3 逆冪迭代法 69
第2章 習題 71
第3章 矩陣分解與廣義逆矩陣 74
3.1 三角分解、滿秩分解和奇異值分解 74
3.1.1 Doolittle分解 74
3.1.2 選列主元的Doolittle分解 76
3.1.3 Cholesky分解 78
3.1.4 矩陣的QR分解 79
3.1.5 矩陣的滿秩分解 80
3.1.6 矩陣的奇異值分解 84
3.2 Penrose方程及其Moore-Penrose逆的計算 86
3.2.1 Penrose方程 86
3.2.2 Moore-Penrose逆的計算 87
3.3 Moore-Penrose逆的性質 94
第3章 習題 98
第4章 線性方程組數值解法 100
4.1 線性方程組的直接解法 100
4.1.1 Gauss消去法 100
4.1.2 直接三角分解解法 105
4.2 廣義逆矩陣求解矛盾方程組 111
4.2.1 基本理論結果 112
4.2.2 列滿秩的LS問題 114
4.2.3 秩虧損的LS問題 116
4.3 線性方程組的迭代解法 117
4.3.1 迭代法的一般概念 117
4.3.2 J迭代法和G-S迭代法 120
4.3.3 超松弛迭代方法 125
4.4 極小化方法 126
4.4.1 與方程組等價的變分問題 126
4.4.2 最速下降法與共軛梯度法的定義 128
4.4.3 共軛梯度法的計算公式 130
4.4.4 共軛梯度法的性質 133
4.4.5 預處理共軛梯度法 135
第4章 習題 136
第5章 最優(yōu)化方法 139
5.1 線性規(guī)劃與單純形法 139
5.1.1 線性規(guī)劃標準形及最優(yōu)基本可行解 139
5.1.2 單純形方法原理 140
5.1.3 單純形表格法 143
5.1.4 兩階段法和大M法 146
5.2 非線性規(guī)劃的最優(yōu)性條件 149
5.2.1 無約束規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件 149
5.2.2 帶約束規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件 151
5.3 無約束非線性優(yōu)化算法 153
5.3.1 線性搜索 154
5.3.2 最速下降法 155
5.3.3 牛頓法 157
5.3.4 共軛梯度法 161
5.4 罰函數法 164
5.4.1 外點罰函數法 164
5.4.2 內點罰函數法 168
5.4.3 廣義乘子法 170
5.5 組合優(yōu)化問題 175
5.6 模擬退火算法 179
5.6.1 受熱金屬物體分子狀態(tài)分布 179
5.6.2 基本模擬退火算法 181
5.6.3 模擬退火算法實現技術 181
5.7 遺傳算法 183
5.7.1 基本遺傳算法 183
5.7.2 遺傳算法實現技術 184
第5章 習題 188
第6章 函數逼近與數據擬合 190
6.1 多項式插值 190
6.1.1 Lagrange插值 191
6.1.2 差商與Newton插值 192
6.1.3 差分及等距節(jié)點的插值公式 195
6.1.4 Hermite插值 197
6.2 最小二乘法 200
6.3 人工神經網絡BP算法 202
6.4 小波變換簡介 205
6.4.1 傅里葉變換與加窗傅里葉變換 206
6.4.2 連續(xù)小波變換 208
6.4.3 多尺度分析 210
6.4.4 小波分解與重構算法(Mallat算法) 214
6.4.5 小波變換的應用 217
第6章 習題 219
第7章 偏微分方程及其數值方法 221
7.1 偏微分方程定解問題 221
7.1.1 波動方程的定解問題 221
7.1.2 熱傳導方程的定解問題 223
7.1.3 Poisson方程的定解問題 225
7.1.4 二階偏微分方程的分類 226
7.2 偏微分方程的解析解 228
7.2.1 分離變量法 228
7.2.2 積分變換法 235
7.2.3 格林函數法 238
7.3 偏微分方程求解的有限差分法 242
7.3.1 橢圓型方程的有限差分法 242
7.3.2 拋物型方程的有限差分法 249
7.3.3 雙曲型方程的有限差分解法 264
7.4 偏微分方程的有限元方法 271
7.4.1 變分方法 271
7.4.2 偏微分方程的有限元方法 276
第7章 習題 283
第8章 統(tǒng)計分析 285
8.1 一元線性回歸 285
8.1.1 一元線性回歸模型 285
8.1.2 參數的最小二乘估計 286
8.1.3 線性假設的顯著性檢驗 289
8.1.4 回歸系數β1的區(qū)間估計 291
8.1.5 因變量的預測 292
8.1.6 可線性化的一元非線性回歸 294
8.2 多元線性回歸 297
8.2.1 多元線性回歸模型 297
8.2.2 參數的最小二乘估計 299
8.2.3 線性假設的顯著性檢驗 301
8.2.4 回歸系數ˉj的區(qū)間估計 302
8.2.5 因變量的預測 302
8.3 單因素方差分析 303
8.3.1 單因素方差分析模型 303
8.3.2 單因素方差分析的統(tǒng)計分析 304
8.3.3 未知參數的估計 307
8.4 貝葉斯(Bayes)統(tǒng)計分析 308
8.4.1 貝葉斯統(tǒng)計的基本觀點 308
8.4.2 先驗分布的選取 312
8.4.3 貝葉斯統(tǒng)計中的參數估計 317
8.4.4 貝葉斯統(tǒng)計中的假設檢驗 319
8.5 多元正態(tài)分布的參數估計與假設檢驗 321
8.5.1 多元正態(tài)分布的定義和性質 321
8.5.2 多元正態(tài)分布的參數估計 322
8.5.3 多元正態(tài)總體參數的假設檢驗 325
第8章 習題 329
參考文獻 331
附表 332
附表1 相關系數臨界值表 332
附表2 標準正態(tài)分布函數表 333
附表3 t分布上分位點表 334
附表4 x2分布上分位點表 335
附表5 F分布上分位點表 337