抽象代數(shù)基礎

目錄
前言
第1章 集合論的基本概念 1
1.1 集合上的偏序與Zorn引理 1
1.1.1 涉及集合的若干基本事項的回顧和羅列 1
1.1.2 偏序集、Zorn引理等三個等價公理及其應用 2
1.2 集合間的映射和集合上的等價關系 6
1.2.1 涉及映射(變換)的若干基本事項的回顧和羅列 6
1.2.2 集合上的等價關系和集合的分劃 7
1.2.3 集合到集合的映射與集合上的等價關系 10
1.3 T(A)上四種基本的等價關系 10
習題1 14
第2章 抽象代數(shù)的基本概念 15
2.1 從已知代數(shù)概念的“溫故知新”入手 15
2.2 半群與群，及其間的同態(tài)和同構映射 17
2.2.1 雙消半群與群 17
2.2.2 半群(及半群同態(tài)和同構)與變換半群 22
2.2.3 群(及群同態(tài)和同構)與置換群 28
2.2.4 Abel群與循環(huán)群 38
2.3 環(huán)與域，及其間的同態(tài)和同構映射 41
2.3.1 環(huán)(及環(huán)同態(tài)和同構)與Abel群的自同態(tài)環(huán) 41
2.3.2 整環(huán)，除環(huán)與域 47
2.3.3 環(huán)的特征 50
2.4 同余與同態(tài) 53
2.4.1 半群(群、環(huán))上的同余與商半群(商群、剩余類環(huán))53
2.4.2 群(環(huán))關于子群(左、右理想)的左、右陪集(左、右剩余類)分劃與群(環(huán))上的左、右同余 56
2.4.3 群(環(huán))的正規(guī)子群(理想)與群(環(huán))上的同余 60
2.4.4 群(環(huán))的同態(tài)基本定理，兩個同構定理 66
2.5 群，環(huán)的(外)直積與內直積 70
習題2 73
第3章 Green關系與正則半群 78
3.1 半群上的Green關系和半群的D-類的結構 78
3.1.1 Green關系 78
3.1.2 D-類的結構 83
3.2 正則D-類和正則半群 85
3.2.1 正則D-類 85
3.2.2 正則半群 89
3.3 完全正則半群 95
3.4 夾心集與純正半群 99
3.5 逆半群 102
3.6 Clifford半群 106
習題3 108
第4章 群(特別地，有限群)110
4.1 群與左(右)群 110
4.2 幾類特殊的群 114
4.2.1 單群 114
4.2.2 可解群 116
4.2.3 群的自同構群 121
4.3 群作用與有限群的Sylow定理 124
4.3.1 群作用——從線性空間的定義講起 124
4.3.2 有限群的Sylow定理 130
4.4 附錄(關于4.1節(jié)不涉及第3章的一個初等處理)133
習題4 136
第5章 環(huán)與理想 138
5.1 環(huán)的乘法半群和加法群 138
5.2 素理想和極大理想 138
5.3 整環(huán)的分式域 142
5.4 多項式環(huán) 145
5.4.1 交換幺環(huán)上的多項式環(huán) 145
5.4.2 整環(huán)和域上的一元多項式環(huán) 150
5.5 整環(huán)的因子分解理論 151
5.5.1 素元與不可約元 151
5.5.2 唯一分解整環(huán) 154
5.5.3 主理想整環(huán) 156
5.5.4 Euclid整環(huán) 158
習題5 159
第6章 模與線性空間 162
6.1 模的基本概念 162
6.1.1 模的概念和例子 162
6.1.2 子模、商模 164
6.1.3 模同態(tài) 165
6.2 自由模 166
6.2.1 自由模的基本概念和事實 166
6.2.2 自由Z-模 172
6.3 模的直和分解 177
6.3.1 模的(內)直和與外直和 177
6.3.2 模涉及模同態(tài)的一類直和分解 179
6.4 回訪模(線性空間)的概念{模(線性空間)公理間的獨立性 182
習題6 188
參考文獻 190
索引 191