用數(shù)學的語言看世界

第1章　從不確定的信息中作出判斷．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
序歐　杰 辛普森審判與德肖維茨教授的辯護主張．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
1．先來擲骰子．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
2．賭博中的不敗之法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
3．條件概率與貝葉斯定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
4．乳腺癌檢查是否沒有意義？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　10
5．用數(shù)學來“學習經(jīng)驗”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　13
6．核電站重大事故再次發(fā)生的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　15
7．歐　杰 辛普森真的殺害了妻子嗎？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　18
第2章　回歸基本原理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　21
序創(chuàng)新與創(chuàng)造的必要條件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　21
1．加法、乘法與運算三定律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　22
2．減法與0的發(fā)現(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　25
3．(．1)×(．1)　為何等于1 ？ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　29
4．分數(shù)與無限分割．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　32
5．假分數(shù)→帶分數(shù)→連分數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　33
6．用連分數(shù)制作歷法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　35
7．過去不被認可的無理數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　37
8．二次方程的華麗歷史．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　43
用數(shù)學的語言看世界
第3章　大數(shù)字并不恐怖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　49
序最初的原子彈爆炸實驗與“費米問題”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　49
1．大氣中的二氧化碳究竟增加了多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　51
1．1　人類消耗了多少能量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　51
1．2　人類排放了多少二氧化碳．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　52
2．遇到大數(shù)字不必慌張．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　53
3．讓天文學家壽命倍增的秘密武器．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　56
4．復利最大化的存款方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　59
5．讓銀行存款翻倍需要多少年．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　61
6．用對數(shù)透視自然法則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　64
第4章　不可思議的素數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　69
序純粹數(shù)學的精華．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　69
1．埃拉托斯特尼篩法與素數(shù)的發(fā)現(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　72
2．素數(shù)有無窮個．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　74
3．素數(shù)的分布存在規(guī)律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　77
4．用素數(shù)判定“帕斯卡三角形”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　79
5．通過費馬檢測就是素數(shù)？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　82
6．保護通信秘密的“公鑰密碼”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　85
7．公鑰密碼的鑰匙，歐拉定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　87
8．信用卡卡號SSL傳輸?shù)脑恚?0
第5章　無限世界與不完備性定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　97
序歡迎來到加州旅館！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　97
11=0．99999．．．讓人難以接受？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　107
2．阿喀琉斯永遠追不上烏龜？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　110
3．“我正在說謊”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　112
4．“不在場證明”與“反證法”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　114
5．哥德爾不完備性定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　115
第6章　測量宇宙的形狀．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　121
序古希臘人如何測量地球周長？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　121
1．基礎中的基礎，三角形的性質．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　125
1．1　證明三角形內角和為180°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　127
1．2　讓人終生難忘的“勾股定理”證明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　130
2．笛卡兒坐標與劃時代的創(chuàng)想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　134
3．六維、九維、十維．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　138
4．歐幾里得公理不成立的世界．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　140
5．唯獨平行公理不成立的世界．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　142
6．不用外部觀測即可得知形狀的“神奇定理”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　145
7．畫一個邊長為100億光年的三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　148
第7章　微分源于積分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　153
序來自阿基米德的書信．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　153
1．為何先從積分開始？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　155
2．面積究竟如何計算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　156
3．任何形狀都OK，阿基米德的夾逼定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　158
4．積分究竟計算什么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　160
5．積分與函數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　164
6．飛矢不動？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　167
7．微分是積分的逆運算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　169
8．指數(shù)函數(shù)的微分與積分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　171
第8章　真實存在的“假想數(shù)字”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　175
序假想的朋友，假想的數(shù)字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　175
1．平方為負的奇怪數(shù)字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　176
2．從一維的實數(shù)到二維的復數(shù)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　179
3．復數(shù)的乘法運算“旋轉與伸長”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　185
4．從加法導出的加法定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　189
5．用方程解決幾何問題．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　191
6．三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與歐拉公式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　195
第9章　測量“難”與“美”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　201
序伽羅瓦，20年的生涯與不滅功績．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　201
1．圖形的對稱性是什么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　206
2．“群”的發(fā)現(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　210
3．二次方程求根公式的秘密．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　214
4．三次方程為何可解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　218
5．方程可解是什么意思．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　224
6．五次方程與正二十面體．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　227
7．伽羅瓦最后的書信．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　229
8．方程的“難度”與圖形的“美”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　230
9．擁有第二個靈魂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　233
后記．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　237