數(shù)學物理方法：理論、歷史與計算機

緒論
第1章 數(shù)學物理方程及其定解條件
1.1 數(shù)學物理基本方程的建立
1.1.1 波動方程
1.1.2 熱傳導方程和擴散方程
1.1.3 泊松方程和拉普拉斯方程
1.1.4亥姆霍茨方程
1.2 定解條件
1.2.1 初始條件
1.2.2 邊界條件
1.3 定解問題的提法
1.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡解的疊加原理
1.4.1 含有兩個自變量二階線性偏微分方程的分類與化簡
1.4.2 線性偏微分方程的疊加原理
1.5 歷史注記——數(shù)學物理學家：達朗貝爾
1.6 例題分析
習題1
第2章 分離變量法148
2.1 (1+1)維齊次方程的分離變量法
2.1.1 有界弦的自由振動
2.1.2 有限長桿上的熱傳導
2.2 二維Laplace方程的定解問題
2.3 非齊次方程的解法
2.4 非齊次邊界條件的處理
2.5 歷史注記——數(shù)學物理學家：傅里葉
2.6 例題分析
習題2
第3章 二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題
3.1 二階常微分方程的級數(shù)解法
3.1.1 常點鄰域內(nèi)的級數(shù)解法
3.1.2 正則奇點附近的級數(shù)解法
3.2 Legendre方程的級數(shù)解
3.3 Bessel方程的級數(shù)解lOl
3.4 Sturm-Liouville本征值問題
3.4.1 Sturm-Liouville方程
3.4.2 本征值問題的一般提法
3.4.3 本征值問題的一般性質(zhì)
3.5 歷史注記——數(shù)學物理學家：劉維爾
3.6 例題分析
習題3
第4章 Bessel函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
4.1 Bessel方程的引出
4.2 Bessel函數(shù)的性質(zhì)
4.2.1 Bessel函數(shù)的基本形態(tài)及本征值問題
4.2.2 Bessel函數(shù)的遞推公式
4.2.3 Bessel函數(shù)的正交性和模方
4.2.4 按Bessel函數(shù)的廣義Fourier級數(shù)展開
4.3 Bessel函數(shù)在定解問題中的應(yīng)用
4.4 修正Bessel函數(shù)
4.4.1 第一類修正Bessel函數(shù)
4.4.2 第二類修正Bessel函數(shù)
4.5 可化為Bessel方程的方程
4.5.1 Kelvin(W.Thomson)方程
4.5.2 其他例子
4.5.3 含Bessel函數(shù)的積分
4.6 歷史注記——天文學家、數(shù)學家：貝塞爾
4.7 例題分析
習題4
第5章 Legendre多項式及其應(yīng)用
5.1 Legendre方程與Legendre多項式的引入
5.2 Legendre多項式的性質(zhì)
5.2.1 Legendre多項式的微分表示
5.2.2 Legendre多項式的積分表示
5.2.3 Legendre多項式的母函數(shù)
5.2.4 Legendre多項式的遞推公式
5.2.5 Legendre多項式的正交歸一性
5.2.6 按P(x)的廣義Fourier級數(shù)展開
5.2.7 一個重要公式
5.3 Legendre多項式的應(yīng)用
5.4 關(guān)聯(lián)Legendre多項式
5.4.1 關(guān)聯(lián)Legendre函數(shù)的微分表示
5.4.2 關(guān)聯(lián)Legendre函數(shù)的積分表示
5.4.3 關(guān)聯(lián)Legendre函數(shù)的正交性與模方
5.4.4 按Pr(z)的廣義Fourier級數(shù)展開
5.4.5 關(guān)聯(lián)Legendre函數(shù)遞推公式
5.5 其他特殊函數(shù)方程簡介
5.5.1 Hermite多項式
5.5.2 Laguerre多項式
5.6 歷史注記——數(shù)學家：勒讓德
5.7 例題分析
習題5
第6章 行波法和積分變換法
6.1 一維波動方程的d’Alember公式
6.2 三維波動方程的Poisson公式
6.2.1 三維波動方程的球?qū)ΨQ解
6.2.2 三維波動方程的Poisson公式
6.2.3 Poisson公式的物理意義
6.3 Fourier積分變換法求定解問題
6.3.1 預備知識——Fourier變換及性質(zhì)
6.3.2 Fourier變換法
6.4 Laplace積分變換法解定解問題
6.4.1 Laplace變換及其性質(zhì)
6.4.2 Laplace變換法
6.5歷史注記
6.5.1 數(shù)學家、天文學家：拉普拉斯
6.5.2 數(shù)學物理學家：泊松
6.6 例題分析
習題6
第7章 Green函數(shù)法
7.1 引言
7.2 占函數(shù)的定義與性質(zhì)
7.2.1 函數(shù)的定義
7.2.2 廣義函數(shù)的導數(shù)
7.2.3 函數(shù)的Fourier變換
7.2.4 高維函數(shù)
7.3 Poisson方程的邊值問題
7.3.1 Green公式
7.3.2 解的積分形式——Green函數(shù)法
7.3.3 Green函數(shù)關(guān)于源點和場點是對稱的
7.4 Green函數(shù)的一般求法
7.4.1 無界區(qū)域的Green函數(shù)
7.4.2 用本征函數(shù)展開法求邊值問題的Gteen函數(shù)
7.5 用電像法求某些特殊區(qū)域的Dirichle-Green函數(shù)
7.5.1 Poisson方程的DchieFGreen函數(shù)及其物理意義
7.5.2 用電像法求Green函數(shù)
7.6 歷史注記——數(shù)學物理學家：格林
7.7 例題分析
習題7
第8章 積分方程和非線性微分方程簡介
8.1 積分方程的分類及解法
8.1.1 積分方程的概念與分類
8.1.2 退化核方程的求解
8.1.3 積分方程的迭代解法
8.1.4 對稱核的Fredholm方程
8.1.5 微分方程與積分方程的聯(lián)系
8.2 非線性微分方程及其某些解法
8.2.1 求解非線性微分方程的函數(shù)變換方法
8.2.2 非線性偏微分方程的孤立波解
8.2.3 解析近似解與正則攝動法
8.3 歷史注記——數(shù)學家：龐加萊
習題8
附錄
附錄A 正交曲線坐標系中的Laplace算符
附錄B r函數(shù)的定義和基本性質(zhì)
附錄C 通過計算留數(shù)求拉普拉斯變換的反演
附錄D Fourier變換和Laplace變換簡表
參考文獻