從割圓術(shù)走向無窮小：揭秘微積分

第1章 導(dǎo)言——寫在前面
1.1 本書的函數(shù)論
1.1.1 函數(shù)的代數(shù)意義
1.1.1.1 函數(shù)的定義
1.1.1.2 初等函數(shù)
1.1.2 函數(shù)的幾何意義
1.1.2.1 笛卡兒的貢獻(xiàn)
1.1.2.2 極坐標(biāo)
1.1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)；
1.1.3.1 有界性
1.1.3.2 周期性
1.1.3.3 奇偶性
1.1.3.4 單調(diào)性
1.1.3.5 顯隱性
1.1.4 函數(shù)的簡單衍生
1.1.4.1 反函數(shù)
1.1.4.2 復(fù)合函數(shù)
1.1.4.3 多元函數(shù)
1.1.5 矢量函數(shù)
1.1.5.1 矢量表示
1.1.5.2 矢量運(yùn)算
1.1.5.3 場論初步
1.1.6 本書基本問題的提出
章末小閱讀：尋覓大學(xué)精神，探索人文之路——讀蔡元培先生《就任北京大學(xué)校長之演說》有感
第2章 感性認(rèn)識(shí)——微積分起源
2.1 古代微積分思想的萌芽
2.1.1 微積分的哲學(xué)思想
2.1.2 劉徽的“割圓術(shù)
2.2 微積分創(chuàng)立的社會(huì)背景
2.2.1 中世紀(jì)思想禁錮和大學(xué)的艱難發(fā)展
2.2.2 文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)和思想的解放
2.2.3 資產(chǎn)階級(jí)革命和生產(chǎn)力的發(fā)展
2.3 先驅(qū)者的貢獻(xiàn)
2.3.1 微分的思想
2.3.2 積分的思想
章末小閱讀：為什么微積分沒有在中國產(chǎn)生
第3章 感性跨越——站在巨人的肩膀上
3.1 牛頓的微積分
3.1.1 “獨(dú)處”成就了牛頓.牛頓驗(yàn)證了“獨(dú)處
3.1.2 牛頓的微積分著作簡介
3.1.3 牛頓的其他成就
3.2 萊布尼茨的微積分
3.2.1 博覽群書，廣交英才
3.2.2 萊布尼茨微積分思想的來源
3.2.3 “古怪的”微積分論文
3.2.4 萊布尼茨的其他貢獻(xiàn)
3.2.5 萊布尼茨和牛頓
3.3 極限初步
3.3.1 極限的四則運(yùn)算法則和夾擠原理
3.3 .2幾類很重要的極限
3.4 導(dǎo)數(shù)
3.4.1 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)
3.4.2 可導(dǎo)的條件
3.4.3 用定義求導(dǎo)數(shù)
3.4.4 四則運(yùn)算求導(dǎo)法則
3.4.5 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
3.4.6 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題
3.4.7 函數(shù)領(lǐng)域的“不倒翁
3.4.8 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與最值初步
3.4.9 偏導(dǎo)數(shù)及其簡單應(yīng)用
3.4.9.1 偏導(dǎo)數(shù)的意義
3.4.9.2 隱函數(shù)求導(dǎo)
3.4.9.3 曲線的切線與法平面
3.4.9.4 曲面的切平面與法線
3.4.9.5 正交曲面坐標(biāo)系叫
3.5 再議最值
3.5.1 多元函數(shù)的最值
3.5.2.條件極值
3.6 微積分的本質(zhì)
3.6.1 什么是微分
3.6.2 微分和導(dǎo)數(shù)的區(qū)別及微分簡單應(yīng)用
3.6.2.1 微分和導(dǎo)數(shù)的區(qū)別
3.6.2.2 微分的簡單應(yīng)用
3.6.3 什么是積分
3.6.3.1 微積分基本原理
3.6.3.2 定積分
3.6.3.3 定積分
3.6.4 微積分的精髓
3.6.5 微積分的基本方法
3.7 積分的算法
3.7.1 湊微分法
3.7.2 換元積分法
3.7.3 分部積分法
3.7.4 綜合積分法
3.7.5 極限積分法
3.8 微分方程初步
3.8.1 可分離變量微分方程
3.8.1.1 引例
3.8.1.2 可分離變量微分方程的一般解法
3.8.2 一階線性微分方程
3.8.2.1 引例
3.8.2.2 一階線性微分方程的一般解法
3.8.3 其他常見微分方程的一般解法
3.8.3.1 齊次微分方程的一般解法
3.8.3.2 可降階高階微分方程的一般解法
章末小閱讀：橢圓周長怎么計(jì)算
第4章 走向理性——逼近無窮小
4.1 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
4.1.1 貝克萊悖論
4.1.2 更加混亂的局面
4.2 分析的算術(shù)化
4.2.1 柯西的探索
4.2.2 數(shù)學(xué)分析的集大成者——維爾斯特拉斯
4.2.2.1 “興趣是最好的老師”再次被應(yīng)驗(yàn)
4.2.2.2 艱苦造就天才，困難磨煉英雄
4.2.2.3 無與倫比的大學(xué)數(shù)學(xué)教師
4.2.2.4 神秘的e一8語言
4.2.2.5 到底什么是無窮小
4.2.2.6 處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)存在嗎
4.3 級(jí)數(shù)的發(fā)展與成熟
4.3.1 級(jí)數(shù)及其最初面臨的困境
4.3.2 用定義判定級(jí)數(shù)斂散性及其簡單應(yīng)用
4.3.2.1 用定義判定級(jí)數(shù)斂散性
4.3.2.2 柯西審斂原理相關(guān)推廣
4.3.2.3 萊布尼茨判別法及其相關(guān)推廣
4.3.3 兩個(gè)關(guān)于等比級(jí)數(shù)的有趣問題
4.3.3.1 0.9 比1小嗎
4.3.3.2 阿基里斯是怎樣追上烏龜?shù)?br />4.3.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
4.3.4.1 中值定理
4.3.4.2 泰勒公式
4.3.4.3 泰勒公式的簡單應(yīng)用
4.3.4.4 泰勒級(jí)數(shù)
4.3.4.5 歐拉公式
章末小閱讀：傅立葉級(jí)數(shù)簡介
第5章 理性發(fā)展——走向成熟
5.1 多元函數(shù)的積分
5.1.1 重積分
5.1.1.1 引例
……
附錄