偏微分方程基本理論

序言
第1章 二階線性橢圓型方程的古典解
1.1 全空間上的Laplace方程
1.1.1 基本解
1.1.2 Poisson方程
1.2 全空間上常系數二階線性橢圓型方程的求解公式
1.3 Green公式與位勢
1.4 調和函數的基本積分公式及一些基本性質
1.4.1 Neumann邊值問題有解的必要條件
1.4.2 調和函數的平均值公式
1.4.3 調和函數的極值原理及位勢方程的Dichlet邊值問題解的唯一性
1.4.4 位勢方程的Neumann邊值問題解的“唯一性”
1.5 Green函數
1.5.1 Green函數的概念
1.5.2 Green函數的性質
1.6 兩種特殊區(qū)域上的Green函數及Dirichlet邊值問題的可解性
1.6.1 球上的Green函數，Poisson公式
1.6.2 上半空間的Green函數，Poisson公式
1.7 調和函數的進一步性質——Poisson公式的應用
1.8 一般形式的二階線性橢圓型方程
1.8.1 古典解的極值原理
1.8.2 古典解的最大模估計和解的唯一性
1.8.3 弱解的極值原理
1.9 能量方法
1.9.1 能量估計與解的唯一性
1.9.2 Dirichlet原理
習題一
第2章 二階線性拋物型方程的古典解
2.1 Fourier變換及其應用
2.2 基本解方法與初值問題
2.2.1 基本解
2.2.2 初值問題
2.2.3 Cole-Hopf變換
2.3 熱方程的平均值公式
2.4.初邊值問題的極值原理
2.4.1 方程式的經典結論
2.4.2 拋物型方程組的極值原理
2.4.3 非經典邊界條件的情形
2.4.4 帶有非局部項的情形
2.5 初邊值問題解的最大模估計與解的唯一性
2.6 初值問題的極值原理與解的唯一性
2.7 初邊值問題的能量模估計與解的唯一性
2.8 初邊值問題的基本解，熱位勢與Green函數
2.8.1 基本解與熱位勢
2.8.2 Green函數
習題二
第3章 二階線性雙曲型方程的古典解
3.1 初值問題的求解
3.1.1 一維齊次方程的初值問題，D'Alembert公式
3.1.2 球面平均法
3.1.3 非齊次方程，推遲勢
3.1.4 Radon變換方法
3.2 初值問題的能量不等式，解的適定性
3.3 混合問題的能量模估計與解的適定性
3.3.1 能量守恒與解的唯一性
3.3.2 能量模估計與解的穩(wěn)定性
習題三
第4章 一階偏微分方程
4.1 一階線性偏微分方程
4.2 輸運方程
4.2.1 齊次方程的初值問題
4.2.2 非齊次方程的初值問題
4.3 一階線性雙曲型方程組
4.4 一階擬線性偏微分方程
4.4.1 特征曲線與積分曲面
4.4.2 初值問題
習題四
第5章 二階線性橢圓型方程的弱解
5.1 弱解的存在性
5.1.1 弱解的定義
5.1.2 變分方法
5.1.3 Lax-MiIgram定理和弱解的第一存在定理
5.1.4 Fredholm二擇一定理和弱解的第二、第三存在定理
5.2 解的正則性
5.2.1 差商和W1p（Ω）空間
5.2.2 內部正則性
5.2.3 整體正則性
5.3 De Giorgi迭代和Moser迭代
5.3.1 弱解的極值原理
5.3.2 弱解的局部性質
5.3.3 Hatnack不等式
5.3.4 內部Holder連續(xù)性
5.4 Schauder理論和Lp理論的主要結果
5.4.1 Schaudei估計
5.4.2 Lp估計
5.4.3 解的存在性和估計
5.5 一個應用
習題五
第6章 二階線性拋物型方程的弱解
6.1 引言
6.2 能量不等式與弱解的唯一性
6.3 弱解的存在性
6.4 常系數方程弱解的W2,12（Qτ）正則性
6.5 Schauder理論和Lp理論的主要結果
6.5.1 Schauder估計和Lp估計
6.5.2 解的存在性
6.5.3 應用一非線性方程解的存在性
6.6 二階線性拋物型方程的初值問題
習題六
第7章 二階線性雙曲型方程的弱解
7.1 弱解的定義
7.2 弱解的存在性和唯一性
7.2.1 Galerkin逼近
7.2.2 能量估計
7.2.3 弱解的存在性和唯一性
7.3 弱解的正則性
習題七
參考文獻