復(fù)變函數(shù)與積分變換

1　復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
1.1　復(fù)數(shù)及其運(yùn)算
1.1.1　復(fù)數(shù)的概念
1.1.2　復(fù)平面
1.1.3　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1.1.4　復(fù)數(shù)的乘冪與開方
1.1.5　復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)
1.2　平面點(diǎn)集的一般概念
1.2.1　區(qū)域
1.2.2　平面曲線
1.3　復(fù)變函數(shù)
1.3.1　復(fù)變函數(shù)的概念
1.3.2　復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)
1.3.3　復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分
習(xí)題一
2　解析函數(shù)
2.1　解析函數(shù)的概念與柯西一黎曼方程
2.1.1　解析函數(shù)的概念
2.1.2　柯西一黎曼方程
2.2　初等函數(shù)及其解析性
2.2.1　指數(shù)函數(shù)
2.2.2　對數(shù)函數(shù)
2.2.3　冪函數(shù)
2.2.4　三角函數(shù)和反三角函數(shù)
2.2.5　雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
2.3　解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
習(xí)題二
3　復(fù)變函數(shù)的積分
3.1　復(fù)變函數(shù)積分的概念
3.1.1　復(fù)變函數(shù)積分的定義
3.1.2　復(fù)變函數(shù)積分的存在條件
3.1.3　復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)
3.1.4　復(fù)變函數(shù)積分的計算
3.2　柯西積分定理
3.2.1　柯西積分定理
3.2.2　變上限積分與原函數(shù)
3.3　復(fù)合閉路定理
3.4　柯西積分公式
3.4.1　柯西積分公式
3.4.2　高階求導(dǎo)公式
習(xí)題三
階段復(fù)習(xí)題一
4　解析函數(shù)的冪級數(shù)表示
4.1　復(fù)級數(shù)的基本概念
4.1.1　復(fù)數(shù)列的極限
4.1.2　復(fù)數(shù)項級數(shù)
4.1.3　復(fù)變函數(shù)項級數(shù)
4.2　冪級數(shù)
4.2.1　冪級數(shù)的收斂性
4.2.2　冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)
4.3　解析函數(shù)的泰勒展開
4.3.1　泰勒（Taylor）定理
4.3.2　解析函數(shù)的泰勒展開法
4.4　洛朗級數(shù)
4.4.1　洛朗級數(shù)的概念
4.4.2　解析函數(shù)的洛朗展開
習(xí)題四
5　留數(shù)及其應(yīng)用
5.1　孤立奇點(diǎn)
5.1.1　孤立奇點(diǎn)的三種類型
5.1.2　極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系
5.1.3　函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)
5.2　留數(shù)
5.2.1　留數(shù)的定義
5.2.2　極點(diǎn)處留數(shù)的計算
5.2.3　留數(shù)定理
5.2.4　函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)
5.3　利用留數(shù)計算實(shí)積分
5.3.1　形如R（cos0，sin0）d0的積分
5.3.2　形如R（x）dx的積分
5.3.3　形如R（x）edx（a>0）的積分
習(xí)題五
6　共形映射
6.1　共形映射的概念
6.1.1　解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
6.1.2　共形映射的定義
6.2　分式線性映射
6.2.1　分式線性映射及其分解
6.2.2　分式線性映射的幾何性質(zhì)
6.2.3　分式線性映射的確定
6.3　幾種常見的分式線性映射
6.3.1　把上半平面映射成上半平面的分式線性映射
6.3.2　把上半平面映射成單位圓內(nèi)部的分式線性映射
6.3.3　把單位圓內(nèi)部映射成單位圓內(nèi)部的分式線性映射
6.4　幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射
6.4.1　冪函數(shù)與根值函數(shù)
6.4.2　指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)
習(xí)題六
階段復(fù)習(xí)題二
7　Fourier變換
7.1　Fourier積分公式
7.2　Fourier變換
7.2.1　Fourier變換的概念
7.2.2　Fourier變換的物理定義——非周期函數(shù)的頻譜
7.3　函數(shù)及其Fourier變換
7.3.1　函數(shù)的定義和性質(zhì)
7.3.2　函數(shù)的Fourier變換
7.4　Fourier變換的性質(zhì)
7.4.1　線性性質(zhì)
7.4.2　位移性質(zhì)
7.4.3　微分性質(zhì)
7.4.4　像函數(shù)的微分性質(zhì)
7.4.5　積分性質(zhì)
7.4.6　對稱性質(zhì)
7.4.7　相似性質(zhì)
7.5　Fourier變換的卷積性質(zhì)
習(xí)題七
8　Laplace變換
8.1　Laplace變換的概念
8.1.1　Laplace變換的定義
8.1.2　Laplace變換存在的條件
8.1.3　周期函數(shù)的Laplace變換
8.2　Laplace變換的性質(zhì)
8.2.1　線性性質(zhì)
8.2.2　相似性質(zhì)
8.2.3　微分性質(zhì)
8.2.4　積分性質(zhì)
8.2.5　位移性質(zhì)
8.2.6　延遲性質(zhì)
8.3　Laplace逆變換
8.3.1　反演積分公式
8.3.2　Laplace逆變換的計算
8.4　卷積
8.4.1　卷積的定義
8.4.2　卷積定理
8.5　Laplace變換的應(yīng)用
8.5.1　求解常系數(shù)的常微分方程
8.5.2　求解常系數(shù)線性微分方程組
8.5.3　解微分積分方程
習(xí)題八
階段復(fù)習(xí)題三
模擬試卷（一）
模擬試卷（二）
習(xí)題參考答案
附錄一　Fourier變換簡表
附錄二　Laplace變換簡表
參考文獻(xiàn)