實用偏微分方程（原書第4版）

第1章 熱傳導方程  
1.1 引言  
1.2 一維桿中熱傳導方程的推導  
1.3 邊界條件  
1.4 平衡溫度分布  
1.4.1 給定溫度  
1.4.2 絕熱邊界  
1.5 二維或三維熱傳導方程的推導  
第2章 分離變量法  
2.1 引言  
2.2 線性性質  
2.3 在有限端處具有零溫度的熱傳導方程  
2.3.1 概述  
2.3.2 分離變量  
2.3.3 不定常方程  
2.3.4 邊值問題  
2.3.5 乘積解和疊加原理  
2.3.6 正弦函數的正交性  
2.3.7 實例  
2.3.8 小結  
2.4 有關熱傳導方程的例子：其他邊值問題  
2.4.1 絕熱端桿中的熱傳導  
2.4.2 細圓環(huán)中的熱傳導  
2.4.3 邊值問題小結  
2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性質  
2.5.1 矩形區(qū)域內的拉普拉斯方程  
2.5.2 圓盤內的拉普拉斯方程  
2.5.3 繞過圓柱體的流體流動（升力）  
2.5.4 拉普拉斯方程的定性性質  
第3章 傅里葉級數  
3.1 引言  
3.2 收斂定理  
3.3 傅里葉余弦級數和傅里葉正弦級數  
3.3.1 傅里葉正弦級數  
3.3.2 傅里葉余弦級數  
3.3.3 用正弦級數和余弦級數表示f(x)  
3.3.4 偶部和奇部  
3.3.5 連續(xù)傅里葉級數  
3.4 傅里葉級數的逐項微分  
3.5 傅里葉級數的逐項積分  
3.6 傅里葉級數的復形式  
第4章 波動方程：振動弦與振動膜  
4.1 引言  
4.2 弦振動方程的建立  
4.3 邊界條件  
4.4 端點固定的振動弦  
4.5 振動膜  
4.6 電磁波與聲波的反射與折射  
4.6.1 斯涅耳折射定律  
4.6.2 反射波與折射波的強度（振幅）  
4.6.3 內部全反射  
第5章 施圖姆劉維爾特征值問題  
5.1 引言  
5.2 例子  
5.2.1 非均勻桿內的熱流  
5.2.2 圓對稱熱流  
5.3 施圖姆劉維爾特征值問題  
5.3.1 一般分類  
5.3.2 正則施圖姆劉維爾特征值問題  
5.3.3 定理的舉例和說明  
5.4 例子：非均勻桿中的無熱源熱流  
5.5 自伴算子和施圖姆劉維爾特征值問題  
5.6 瑞利商  
5.7 例子：非均勻弦的振動  
5.8 第三類邊界條件  
5.9 大特征值（漸近行為）  
5.10 逼近性質  
第6章 偏微分方程的有限差分數值法  
6.1 引言  
6.2 有限差分與截斷泰勒級數  
6.3 熱傳導方程  
6.3.1 概述  
6.3.2 偏差分方程  
6.3.3 計算  
6.3.4 傅里葉馮·諾伊曼穩(wěn)定性分析  
6.3.5 偏差分方程的分離變量和常差分方程的解析解  
6.3.6 矩陣記號  
6.3.7 非齊次問題  
6.3.8 其他數值格式  
6.3.9 其他類型的邊界條件  
6.4 二維熱傳導方程  
6.5 波動方程  
6.6 拉普拉斯方程  
6.7 有限元法  
6.7.1 非正交函數逼近  
6.7.2 最簡三角形有限元  
第7章 高維偏微分方程  
7.1 引言  
7.2 時間變量的分離  
7.2.1 振動膜:任意形狀  
7.2.2 熱傳導:任意區(qū)域  
7.2.3 小結  
7.3 振動矩形膜  
7.4 特征值問題Δ2+λ=0的定理敘述和說明  
7.5 格林公式. 自伴算子和多維特征值問題  
7.6 瑞利商和拉普拉斯方程  
7.6.1 瑞利商  
7.6.2 依賴時間的熱傳導方程與拉普拉斯方程  
7.7 振動圓形膜和貝塞爾函數  
7.7.1 概述  
7.7.2 分離變量  
7.7.3 特征值問題(一維情形)  
7.7.4 貝塞爾微分方程  
7.7.5 奇異點和貝塞爾微分方程  
7.7.6 貝塞爾函數及其漸近性質（在z=0附近）  
7.7.7 涉及貝塞爾函數的特征值問題  
7.7.8 振動圓形膜的初值問題  
7.7.9 圓對稱情形  
7.8 貝塞爾函數的進一步討論  
7.8.1 貝塞爾函數的定性性質  
7.8.2 特征值的漸近公式  
7.8.3 貝塞爾函數的零點和結點曲線  
7.8.4 貝塞爾函數的級數表示  
7.9 圓柱體上的拉普拉斯方程  
7.9.1 概述  
7.9.2 分離變量  
7.9.3 側面及頂部或底部為零溫度的情形  
7.9.4 頂部和底部為零溫度的情形  
7.9.5 修正貝塞爾函數  
7.10 球內的問題和勒讓德多項式  
7.10.1 概述  
7.10.2 分離變量和一維特征值問題  
7.10.3 連帶勒讓德函數和勒讓德多項式  
7.10.4 徑向特征值問題  
7.10.5 乘積解. 振動模式和初值問題  
7.10.6 球內部的拉普拉斯方程  
第8章 非齊次問題  
8.1 引言  
8.2 有源熱流與非齊次邊界條件  
8.3 帶齊次邊界條件的特征函數展開法（微分特征函數的級數）  
8.4 利用格林公式的特征函數展開法（帶或不帶齊次邊界條件）  
8.5 受迫振動膜與共振  
8.6 泊松方程  
第9章 定常問題的格林函數  
9.1 引言  
9.2 一維熱傳導方程  
9.3 常微分方程邊值問題的格林函數  
9.3.1 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程  
9.3.2 參數變易法  
9.3.3 格林函數的特征函數展開法  
9.3.4 狄拉克δ函數及其與格林函數的關系  
9.3.5 非齊次邊界條件  
9.3.6 小結  
9.4 弗雷德霍姆擇一性與廣義格林函數  
9.4.1 概述  
9.4.2 弗雷德霍姆擇一性  
9.4.3 廣義格林函數  
9.5 泊松方程的格林函數  
9.5.1 概述..  
9.5.2 多維狄拉克δ函數與格林函數  
9.5.3 用特征函數展開法表示格林函數與弗雷德霍姆擇一性  
9.5.4 格林函數的直接解法(一維特征函數)  
9.5.5 用格林函數解帶非齊次邊界條件的問題  
9.5.6 無窮空間格林函數  
9.5.7 用無窮空間格林函數得到有界區(qū)域的格林函數  
9.5.8 用無窮空間格林函數求半無窮平面(y>0)的格林函數：像源法  
9.5.9 圓的格林函數：像源法  
9.6 擾動特征值問題  
9.6.1 概述  
9.6.2 數學例子  
9.6.3 擬圓膜振動  
9.7 小結  
第10章 無窮域問題：偏微分方程的傅里葉變換解法  
10.1 引言  
10.2 無窮域上的熱傳導方程  
10.3 傅里葉變換對  
10.3.1 傅里葉級數恒等式的啟示  
10.3.2 傅里葉變換  
10.3.3 高斯函數的傅里葉逆變換  
10.4 傅里葉變換與熱傳導方程  
10.4.1 熱傳導方程  
10.4.2 傅里葉變換熱傳導方程：導數的變換  
10.4.3 卷積定理  
10.4.4 傅里葉變換性質小結  
10.5 傅里葉正弦和余弦變換：半無窮區(qū)間上的熱傳導方程  
10.5.1 概述  
10.5.2 半無窮區(qū)間上的熱傳導方程Ⅰ  
10.5.3 傅里葉正弦和余弦變換  
10.5.4 導數的變換  
10.5.5 半無窮區(qū)間上的熱傳導方程Ⅱ  
10.5.6 傅里葉正弦和余弦變換表  
10.6 應用變換求解的例子  
10.6.1 無窮區(qū)間上的一維波動方程  
10.6.2 半無窮帶上的拉普拉斯方程  
10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程  
10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程  
10.6.5 平面上的熱傳導方程(二維傅里葉變換)  
10.6.6 二重傅里葉變換表  
10.7 散射和逆散射  
第11章 波動方程和熱傳導方程的格林函數  
11.1 引言  
11.2 波動方程的格林函數  
11.2.1 概述  
11.2.2 格林公式  
11.2.3 互反性  
11.2.4 使用格林函數  
11.2.5 波動方程的格林函數  
11.2.6 格林函數的另一個微分方程  
11.2.7 一維波動方程的無窮空間格林函數和達朗貝爾解  
11.2.8 三維波動方程的無窮空間格林函數(惠更斯原理)  
11.2.9 二維無窮空間格林函數  
11.2.10 小結  
11.3 熱傳導方程的格林函數  
11.3.1 概述  
11.3.2 熱傳導方程的非自伴特性  
11.3.3 格林公式  
11.3.4 伴隨格林函數  
11.3.5 互反性  
11.3.6 用格林函數表示解  
11.3.7 格林函數的另一個微分方程  
11.3.8 擴散方程的無窮空間格林函數  
11.3.9 熱傳導方程的格林函數(在半無窮域上)  
11.3.10 熱傳導方程的格林函數(在有限區(qū)域上)  
第12章 線性和擬線性波動方程的特征線法  
12.1 引言  
12.2 一階波動方程的特征線  
12.2.1 概述  
12.2.2 一階偏微分方程的特征線法  
12.3 一維波動方程的特征線法  
12.3.1 通解  
12.3.2 初值問題(無窮區(qū)域)  
12.3.3 達朗貝爾解  
12.4 半無界弦和反射  
12.5 定長振動弦的特征線法  
12.6 擬線性偏微分方程的特征線法  
12.6.1 特征線法  
12.6.2 交通流量  
12.6.3 特征線法(Q=0)  
12.6.4 沖擊波  
12.6.5 擬線性舉例  
12.7 一階非線性偏微分方程  
12.7.1 由波動方程推導出的短時距方程  
12.7.2 求解均勻介質中的短時距方程和反射波  
12.7.3 一階非線性偏微分方程  
第13章 偏微分方程的拉普拉斯變換解法  
13.1 引言  
13.2 拉普拉斯變換的性質  
13.2.1 概述  
13.2.2 拉普拉斯變換的奇點  
13.2.3 導數的變換  
13.2.4 卷積定理  
13.3 常微分方程初值問題的格林函數  
13.4 波動方程的信號問題  
13.5 有限長度振動弦的信號問題  
13.6 波動方程及其格林函數  
13.7 用復平面上的圍線積分計算拉普拉斯逆變換  
13.8 利用拉普拉斯變換求解波動方程(復變量)  
第14章 色散波：緩變. 穩(wěn)定性. 非線性性和擾動法  
14.1 引言  
14.2 色散波和群速度  
14.2.1 行波和色散關系  
14.2.2 群速度Ⅰ  
14.3 波導  
14.3.1 對ωf頻率集中周期性源的響應  
14.3.2 模式傳播的格林函數  
14.3.3 模式不傳播的格林函數  
14.3.4 設計思路  
14.4 光纖  
14.5 群速度Ⅱ和穩(wěn)定相位法  
14.5.1 穩(wěn)定相位法  
14.5.2 對線性色散波的應用  
14.6 緩變色散波(群速度和焦散曲線)  
14.6.1 色散偏微分方程的近似解  
14.6.2 焦散曲線的形成  
14.7 波包絡方程(集中波數)  
14.7.1 薛定諤方程  
14.7.2 線性化KdV方程  
14.7.3 非線性色散波：KdV方程  
14.7.4 孤立子與逆散射  
14.7.5 非線性薛定諤方程  
14.8 穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性  
14.8.1 常微分方程和分歧理論簡介  
14.8.2 偏微分方程穩(wěn)定平衡解的基本例子  
14.8.3 偏微分方程的典型不穩(wěn)定平衡點和模式形成  
14.8.4 不適定問題  
14.8.5 微不穩(wěn)定色散波和線性化復金茨堡朗道方程  
14.8.6 非線性復金茨堡朗道方程  
14.8.7 長波的不穩(wěn)定性  
14.8.8 反應擴散方程的模式形成和圖靈不穩(wěn)定性  
14.9 奇異擾動法：多尺度  
14.9.1 常微分方程：弱非線性阻尼振子  
14.9.2 常微分方程：緩變振子  
14.9.3 固定空間域上的微不穩(wěn)定偏微分方程  
14.9.4 關于波動方程的緩變介質  
14.9.5 緩變線性色散波(包括弱非線性作用)