線性代數(shù)學考指要（學士版）

第1章 行列式
1.1 本章綜述
1.2 釋疑解難
問題1.1 計算排列的逆序數(shù)有哪些方法？
問題1.2 大于3階的行列式能不能按對角線法則展開？
問題1.3 n階行列式的定義
問題1.4 n階行列式中含特定元素的所有項的求法
問題1.5 幾種利用定義計算的行列式
問題1.6 利用性質(zhì)計算行列式所要注意的幾點
問題1.7 余子式和代數(shù)余子式的幾點說明
問題1.8 行列式按行（列）展開定理一
問題1.9 有關(guān)范德蒙行列式的幾點應用
問題1.10 克萊姆法則求解方程組所要注意的幾點
1.3 題型歸納
題型1 求排列的逆序數(shù)
題型2 行列式中項的判定
題型3 求行列式表示的多項式的最高次數(shù)和各項系數(shù)
題型4 用行列式定義計算行列式
題型5 化三角形法和降階法計算行列式
題型6 具備某些特征的行列式的計算
題型7 計算較復雜行列式的多種技巧
題型8 行列式的相關(guān)證明
題型9 利用克萊姆法則求解方程組
題型10 方程組解的唯一性相關(guān)判別
1.4 習題解答
第2章 矩陣
2.1 本章綜述
2.2 釋疑解難
問題2.1 矩陣和行列式的區(qū)別
問題2.2 矩陣運算與行列式運算的區(qū)別
問題2.3 矩陣乘法和數(shù)的乘法的區(qū)別
問題2.4 矩陣的冪和方陣行列式的冪的區(qū)別
問題2.5 零矩陣和單位矩陣是否唯一？
問題2.6 如何判斷矩陣A可逆？如何求A-1？
問題2.7 逆矩陣運算有哪些常用性質(zhì)？
問題2.8 對于n階可逆矩陣A，（AT）=（A-1）T=（A）-1=（A1）是否成立？
問題2.9 伴隨矩陣有哪些?？嫉男再|(zhì)？
問題2.10 用可逆矩陣A及其行列式怎樣表示/A/，/A/2，/（A）/？
問題2.11 如何求解矩陣方程？
問題2.12 分塊矩陣作乘法怎樣運算？
問題2.13 分塊對角矩陣的行列式和逆矩陣
2.3 題型歸納
題型1 矩陣的基本運算
題型2 求n階方陣A的冪Ak
題型3 滿秩矩陣的逆陣
題型4 求解矩陣方程
題型5 分塊矩陣運算
題型6 方陣的行列式
題型7 求矩陣中的參數(shù)
2.4 習題解答
第3章 矩陣的初等變換與線性方程組
3.1 本章綜述
3.2 釋疑解難
問題3.1 矩陣的初等變換和行階梯形矩陣、行最簡形矩陣以及標準形矩陣的關(guān)系
問題3.2 在秩是r的矩陣中，有沒有等于O的r-l階子式？有沒有等于O的r階子式？
問題3.3 如何判斷一個矩陣是否為行階梯形矩陣？如何求行階梯形矩陣的秩？
問題3.4 怎樣求矩陣的秩？
問題3.5 怎樣判斷n元齊次線性方程組只有零解或有非零解？
問題3.6 n元非齊次線性方程組AmxnX=b是否恰有k個解？（k是大于1的有限整數(shù)）
問題3.7 含參數(shù)的線性方程組如何解？
問題3.8 矩陣的初等變換與相應的初等矩陣的關(guān)系
問題3.9 利用矩陣乘積表示方程組的兩種方法
問題3.10 如何利用初等變換求可逆矩陣逆陣及解矩陣方程？
問題3.11 求一個可逆矩陣的逆矩陣常用什么方法？
3.3 題型歸納
題型1 求矩陣的秩和最高階非零子式
題型2 線性方程組解的存在性判別
題型3 通過矩陣的初等變換求解矩陣方程
題型5 求解一般線性方程組
3.4 習題解答
第4章 向量組
4.1 本章綜述
4.2釋 疑解難
問題4.1 向量的運算有哪些？分別遵循什幺規(guī)律？
問題4.2 區(qū)分兩種向量乘法
問題4.3 矩陣與向量組的關(guān)系
問題4.4 怎樣判斷一個向量能否被一組向量線性表示？
問題4.5 矩陣乘法與向量組線性表示的關(guān)系
問題4.6 向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的理解
問題4.7 若向量組A；a1，a2，，an線性相關(guān)，是否其中的每一個向量都可以
由其余的向量線性表示？
問題4.8 證明或判斷一個向量組線性相關(guān)或線性無關(guān)的常用方法有哪些？
問題4.9 如果向量組A：a1.a2，，am的秩為r，那么其中任意r個向量是否都可以
構(gòu)成它的一個最大線性無關(guān)組？
問題4.10 求向量組的最大線性無關(guān)向量組有哪些方法？
問題4.11 由向量組A：a1，a2，，am生成的向量空間是什么樣的？
問題4.12 一般線性方程組有哪些形式？
問題4.13 如何求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？
問題4.14 求非齊次線性方程組通解的一般步驟
4.3題型歸納
題型1 向量的概念和運算
題型2 向量組線性組合和線性表示
題型3 向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)
題型4 求向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩
題型6 向量空間
題型7 等價向量組
題型8 線性方程組解的結(jié)構(gòu)
題型9 一般線性方程組求解
題型10 含參數(shù)線性方程組求解
題型11 同解線性方程組求解
4.4 習題解答
第5章 二次型
5.1 本章綜述
5.2 釋疑解難
問題5.1 向量的內(nèi)積是什么？有哪些性質(zhì)？
問題5.2 施瓦茨不等式怎樣證明？
問題5.3 正交向量組和無關(guān)向量組有何聯(lián)系？
問題5.4 何謂正交矩陣？正交矩陣有哪些性質(zhì)？
問題5.5 矩陣的特征值和特征向量分別有哪些性質(zhì)？
問題5.6 如果A是方陣A的r重特征值，那么方陣A的屬于A的是否一定有r個
線性無關(guān)的特征向量？
問題5.7 相似矩陣有哪些性質(zhì)？
問題5.8 判斷矩陣A是否可對角化的基本方法有哪些？
問題5.9 對于實對稱矩陣A，如何求正交矩陣P，使P-1AP為對角陣？
問題5.10 如何判斷一個二次型f=x的T次方Az是正定的？
問題5.11 化實二次型為標準型的常用方法有哪些？
5.3題型歸納
題型1 向量的內(nèi)積和正交化
題型2 矩陣的特征值與特征向量
題型3 已知特征值和特征向量求矩陣
題型3 相似矩陣和矩陣對角化
題型4 合同矩陣
題型5 二次型
題型6 正定矩陣和正定二次型
5.4習題解答
附錄1 課程考試真題（A）及參考答案
附錄2 課程考試真題（B）及參考答案
參考文獻