微分幾何（第三版）

第一章　曲線論
§1　向量函數(shù)
1．1　向量函數(shù)的極限
1．2　向量函數(shù)的連續(xù)性
1．3　向量函數(shù)的微商
1．4　向量函數(shù)的泰勒（Taylor）公式
1．5　向量函數(shù)的積分
§2　曲線的概念
2．1　曲線的概念
2．2　光滑曲線曲線的正常點(diǎn)
2．3　曲線的切線和法面
2．4　曲線的弧長自然參數(shù)
§3　空間曲線
3．1　空間曲線的密切平面
3．2　空間曲線的基本三棱形
3．3　空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)（Frenet）公式
3．4　空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)
3．5　空間曲線論的基本定理
3．6　一般螺線
第二章　曲面論
§1　曲面的概念
1．1　簡單曲面及其參數(shù)表示
1．2　光滑曲面曲面的切平面和法線
1．3　曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)
§2　曲面的第一基本形式
2．1　曲面的第一基本形式曲面上曲線的弧長
2．2　曲面上兩方向的交角
2．3　正交曲線族和正交軌線
2．4　曲面域的面積
2．5　等距變換
2．6　保角變換
§3　曲面的第二基本形式
3．1　曲面的第二基本形式
3．2　曲面上曲線的曲率
3．3　杜邦（Dupin）指標(biāo)線
3．4　曲面的漸近方向和共軛方向
3．5　曲面的主方向和曲率線
3．6　曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
3．7　曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)
3．8　高斯曲率的幾何意義
§4　直紋面和可展曲面
4．1　直紋面
4．2　可展曲面
§5　曲面論的基本定理
5．1　曲面的基本方程和克里斯托費(fèi)爾（Christoffel）符號
5．2　曲面的黎曼（Riemann）曲率張量和高斯一科達(dá)齊一邁因納爾迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式
5．3　曲面論的基本定理
§6　曲面上的測地線
6．1　曲面上曲線的測地曲率
6．2　曲面上的測地線
6．3　曲面上的半測地坐標(biāo)網(wǎng)
6．4　曲面上測地線的短程性
6．5　高斯波涅（（9auss-Bonnet）公式
6．6　曲面上向量的平行移動(dòng)
6．7　極小曲面
§7　常高斯曲率的曲面
7．1　常高斯曲率的曲面
7．2　偽球面
7．3　羅氏幾何
第三章　外微分形式和活動(dòng)標(biāo)架
§l　外微分形式
1．1　格拉斯曼（（3rassmann）代數(shù)
1．2　外微分形式
1．3　弗羅貝尼烏斯（Frobenius）定理
§2　活動(dòng)標(biāo)架
2．1　合同變換群
2．2　活動(dòng)標(biāo)架
2．3　活動(dòng)標(biāo)架法
§3　用活動(dòng)標(biāo)架法研究曲面
3．1　曲面論的基本定理
3．2　曲面的第一和第二基本形式
3．3　曲面上的曲線法曲率測地曲率和測地?fù)下?br />3．4　曲面的主曲率歐拉公式高斯曲率和平均曲率
3．5　曲面上向量的平行移動(dòng)
3．6　閉曲面的高斯一波涅公式
第四章　整體微分幾何初步
§1　平面曲線的整體性質(zhì)
1．1　旋轉(zhuǎn)數(shù)
1．2　凸曲線
1．3　等周不等式
1．4　四頂點(diǎn)定理
1．5　等寬曲線
1．6　平面上的Crofton公式
§2　空間曲線的整體性質(zhì)
2．1　Fenchel定理
2．2　球面上的Crofton公式
2．3　Fary-Milnor定理
2．4　閉曲線的全撓率
§3　曲面的整體性質(zhì)
3．1　曲面的整體定義
3．2　曲面的一般性質(zhì)
3．3　卵形面
3．4　完備曲面
§4　緊致曲面的高斯一波涅公式和歐拉示性數(shù)
4．1　緊致曲面的三角剖分
4．2　緊致曲面的歐拉示性數(shù)
4．3　緊致定向曲面的虧格（gerUS）
4．4　緊致曲面的高斯一波涅公式
4．5　緊致曲面上的向量場
名詞索引