數(shù)學(xué)哲學(xué)引論

　　本書是數(shù)學(xué)哲學(xué)的一本引論。而只能選擇其中較主要的內(nèi)容做初步探討。本書討論了古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)三大派別和現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)三大派別，以及數(shù)學(xué)同辯證法的關(guān)系（這里也涉及若干數(shù)學(xué)哲學(xué)派別）。本書每一章的最后一節(jié)都是做這種性質(zhì)的探討的。本書的結(jié)語部分，又對辯證唯物主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)體系和內(nèi)容做了較系統(tǒng)的探討。本書的寫作力圖貫徹歷史的和邏輯的統(tǒng)一原則。在討論數(shù)學(xué)哲學(xué)每一方面的問題時，都把歷史線索和邏輯結(jié)合起來進(jìn)行分析，以揭示數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展的內(nèi)在機制和規(guī)律。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該說是一個古老的研究領(lǐng)域，但它又是一個很年輕的新興學(xué)科。它的社會意義和價值是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中日益明顯化的。本書是數(shù)學(xué)哲學(xué)的一本引論。而只能選擇其中較主要的內(nèi)容做初步探討。本書討論了古希臘數(shù)學(xué)哲學(xué)三大派別和現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)三大派別，以及數(shù)學(xué)同辯證法的關(guān)系（這里也涉及若干數(shù)學(xué)哲學(xué)派別）。本書每一章的最后一節(jié)都是做這種性質(zhì)的探討的。本書的結(jié)語部分，又對辯證唯物主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)體系和內(nèi)容做了較系統(tǒng)的探討。本書的寫作力圖貫徹歷史的和邏輯的統(tǒng)一原則。在討論數(shù)學(xué)哲學(xué)每一方面的問題時，都把歷史線索和邏輯結(jié)合起來進(jìn)行分析，以揭示數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展的內(nèi)在機制和規(guī)律。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該說是一個古老的研究領(lǐng)域，但它又是一個很年輕的新興學(xué)科。它的社會意義和價值是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中日益明顯化的。TOP目錄 再版前言緒論第一章數(shù)學(xué)與科學(xué)第一節(jié)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及其影響第二節(jié)近代科學(xué)的數(shù)學(xué)化第三節(jié)現(xiàn)代科學(xué)的數(shù)學(xué)化第四節(jié)科學(xué)對數(shù)學(xué)化的作用第二章數(shù)學(xué)與心智第一節(jié)柏拉圖學(xué)派及其影響第二節(jié)近代的數(shù)學(xué)柏拉圖主義第三節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)柏拉圖主義第四節(jié)約定主義及有關(guān)學(xué)派第五節(jié)心智在數(shù)學(xué)中的作用第三章數(shù)學(xué)與經(jīng)驗第一節(jié)亞里士多德學(xué)派其影響第二節(jié)近代的數(shù)學(xué)經(jīng)驗主義第三節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)經(jīng)驗主義第四節(jié)經(jīng)驗在數(shù)學(xué)中的作用第四章數(shù)學(xué)與邏輯第一節(jié)數(shù)學(xué)與邏輯關(guān)系的演變第二節(jié)邏輯主義學(xué)派及其影響第三節(jié)邏輯邏輯數(shù)學(xué)中的作用第五章數(shù)學(xué)與直覺第一節(jié)近代的數(shù)學(xué)直覺主義第二節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)直覺主義第三節(jié)直覺在數(shù)學(xué)中的作用第六章數(shù)學(xué)與形式化第一節(jié)數(shù)學(xué)形式化的歷史發(fā)展第二節(jié)形式主義學(xué)派及其影響第三節(jié)形式化在數(shù)學(xué)中的作用第七章數(shù)學(xué)與辯證法第一節(jié)古代數(shù)學(xué)中的辯證法第二節(jié)近代數(shù)學(xué)中的辯證法第三節(jié)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與辯證法第四節(jié)辯證唯物主義數(shù)學(xué)觀的發(fā)展結(jié)語附錄一：數(shù)學(xué)思維與思維訓(xùn)練附錄二：有機的數(shù)學(xué)觀附錄三：中國傳統(tǒng)知識的量化特征及其對數(shù)學(xué)的影響附錄四：與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究相關(guān)的幾部譯著簡介后記再版附記 TOP書摘書摘“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”常被認(rèn)為是現(xiàn)代術(shù)語，其實這個術(shù)語所表示的事件從伽利略的時代就已出現(xiàn)了。這是數(shù)學(xué)與科學(xué)關(guān)系的一次重大轉(zhuǎn)折。在伽利略生活的16世紀(jì)之前，由于亞里士多德學(xué)派的影響，人們相信事物的定性的質(zhì)是基本的，任何現(xiàn)象的原因都是質(zhì)的原因?？茖W(xué)的任務(wù)就在于找出事物定性的質(zhì)，而量的描述是為定性分析服務(wù)的。受這種觀點所支配，在整個中世紀(jì)里，甚至有關(guān)無限、連續(xù)、變化率等純數(shù)學(xué)的問題，也都是采取定性分析的方法主硬地進(jìn)行討論的。16世紀(jì)以后，伽利略開創(chuàng)了對物理學(xué)的數(shù)學(xué)解釋。受畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響，伽利略堅信自然界這本“大書”是用數(shù)學(xué)語言寫出的，自然界按照完美而不變的數(shù)學(xué)規(guī)律活動著。因此，很多物理概念和規(guī)律必須從數(shù)學(xué)原理上加以說明，并不存在什么玄妙的質(zhì)。伽利略給物理學(xué)中數(shù)學(xué)公式規(guī)定的任務(wù)是“只描述，不解釋”，實際上是不要定性的解釋，而把量的描述作為物理規(guī)律的惟一的本質(zhì)上的解釋。這個思想是同當(dāng)時的傳統(tǒng)觀念明顯對立的。然而牛頓繼承并發(fā)展了這個思想，并將其集中體現(xiàn)在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》這部巨著中。牛頓明確指出：“我們說通過數(shù)學(xué)方法，是為了避免關(guān)于這個力（指萬有引力）的本性或質(zhì)的一切問題，這個質(zhì)是我們用任何假設(shè)都不會確定下來的?！辟だ院团ｎD的思想當(dāng)時遭到包括惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努列等著名科學(xué)家在內(nèi)的許多人的激烈反對。人們要求他們首先定性地說明重量和引力的實質(zhì)，否則就認(rèn)為他們所說的一切都是荒謬的。但后來的事實清楚地表明，伽利略和牛頓的科學(xué)成就與他們的這個思想是密切相關(guān)的。正是這個思想導(dǎo)致了近代物理學(xué)的產(chǎn)生，并使物理學(xué)成為頭一個數(shù)學(xué)化的領(lǐng)域。比較一下古代的物理學(xué)中數(shù)學(xué)的不同地位和作用，有助于對“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”這一概念的準(zhǔn)確理解。古代的物理學(xué)研究中要應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，有些物理學(xué)規(guī)律（如杠桿原理、浮力定律等）是運用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示的，但總的說來人們并未意識到物理學(xué)規(guī)律的表示離不開數(shù)學(xué)原理。近代物理學(xué)的情況恰恰與之相反。伽利略和牛頓的工作表明，數(shù)學(xué)關(guān)系式成為數(shù)學(xué)規(guī)律已變?yōu)榧償?shù)學(xué)的東西。這些規(guī)律中的數(shù)學(xué)符號仍表示確定的物理實在意義，但它們之間的關(guān)系完全是數(shù)學(xué)關(guān)系。此外，近代物理學(xué)中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用無疑是大大強化了，而這正是由于數(shù)學(xué)關(guān)系式成為科學(xué)規(guī)律的一部分而選成的。如此看來，關(guān)鍵是數(shù)學(xué)原理“滲透”到科學(xué)規(guī)律中去，這才能夠體現(xiàn)科學(xué)的數(shù)學(xué)“化”。前蘇聯(lián)學(xué)者B·辛卡魯克曾認(rèn)為：“所謂科學(xué)知識數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)思維的方法越來越廣泛地成為一般科學(xué)的思維方法”，而這個過程“是同數(shù)學(xué)概念同時產(chǎn)生和發(fā)展的”，后來發(fā)生的事情只是這個過程的不斷強化而已。B·C·盧基亞涅茨也有類似看法。這種觀點只是強調(diào)了數(shù)學(xué)方法應(yīng)用程度上的差異，卻忽略了科學(xué)數(shù)學(xué)化產(chǎn)生的特殊歷史背景和特定含義，這是不妥當(dāng)?shù)?。因為取消了“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”這一概念的特殊性，‘實際上也就無所謂數(shù)學(xué)化了。從辯證唯物主義觀點出發(fā)，如何認(rèn)識直覺在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用呢？要回答這個問題，首先需要弄清楚數(shù)學(xué)直覺的內(nèi)容和性質(zhì)。數(shù)學(xué)直覺同一般的“科學(xué)直覺”是有明顯區(qū)別的。通常的“科學(xué)直覺”包含兩種含義，一是人的感官對外界事物直接觀察中獲得的感覺、知覺和表象的總和，即“感性直覺”；二是人思維直接把握事物本質(zhì)的一種內(nèi)在直觀認(rèn)識，即“理性直覺”。在創(chuàng)造性思維活動中，起主要作用的是理性直覺。它通常同靈，感、頓悟、想像等概念聯(lián)系在一起，構(gòu)成科學(xué)研究方法論的一個重要方面。數(shù)學(xué)直覺是一種理性直覺，但它的對象不同于一般的科學(xué)直覺的對象。數(shù)學(xué)直覺的對象是經(jīng)過抽象思維加工的數(shù)學(xué)實體，而科學(xué)直覺的對象是客觀的物質(zhì)世界。在現(xiàn)代科學(xué)數(shù)學(xué)化的過程中，數(shù)學(xué)直覺同理性的科學(xué)直覺日益接近，它們在反映微觀世界和大尺度空間性質(zhì)方面日益顯示出密切的本質(zhì)聯(lián)系。正如同科學(xué)數(shù)學(xué)化并沒有取消數(shù)學(xué)與科學(xué)的分界一樣，數(shù)學(xué)直覺和理性的科學(xué)直覺的界限依然存在。一般說來，理性的科學(xué)直覺中較多形象化的東西，而數(shù)學(xué)直覺比較抽象，恰如布勞威爾等人所說，有時很難于用語言表達(dá)，給人以神秘莫測的感覺。盡管如此，仍然可以對數(shù)學(xué)直覺的內(nèi)容做一些基本分析。通過分析數(shù)學(xué)直覺主義和有關(guān)派別對數(shù)學(xué)直覺的認(rèn)識，大體上可以看出，數(shù)學(xué)直覺在內(nèi)容上是分層次的。布勞威爾等人所謂的“對偶性”直覺，以及康德的時空直觀形式，處于較低的層次，類似于自然科學(xué)領(lǐng)域中的“感性直覺”。它雖然具有理性思維的特點，但同理性的科學(xué)直覺在性質(zhì)上差異較大。這種直覺一般不直接參與數(shù)學(xué)研究中的創(chuàng)造性思維活動。龐卡萊和形式主義者所謂的另一種意義的直覺顯然居于較高層次，接近理性的科學(xué)直覺，直接參與創(chuàng)造性思維。至于在這兩個層次之間，是否還存在其他中間層次？由較低層次是如何發(fā)展到較高層次的？這些問題還有待研究。較低層次的直覺在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，前面已有論及。這里著重探討較高層次的直覺的內(nèi)容。下面來看（形式主義學(xué)派其他代表人物）在數(shù)學(xué)本體論和認(rèn)識認(rèn)問題上的形式主義觀點。 在數(shù)學(xué)本體論問題上，形式主義學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)對象是一堆毫無實際內(nèi)容的形式符號體系。不管從什么假設(shè)出發(fā)，只要這些假設(shè)能以符號形式明顯地表示，用形式的演繹來推理，就成為數(shù)學(xué)。美國數(shù)理邏輯學(xué)家克林尼（S．C．Kleene）說：“從兀理論的觀點來看，對象理論根本不是一個真正的理論，根本不是像我們對理論這個詞所理解的那種理論，而是毫無意義的對象的系統(tǒng)，這些對象像下棋游戲中的棋子一樣，它們只受到下棋一樣的機械規(guī)則的支配。對象理論是作為一個符號系統(tǒng)和由符號構(gòu)成的對象的系統(tǒng)加以描述和研究的?！泵绹鴶?shù)學(xué)邏輯學(xué)家柯亨也有類似的論述。美國數(shù)學(xué)家A·魯濱遜甚至認(rèn)為“真實的無窮不存在，理想的無窮也不存在。更嚴(yán)格地說，就是關(guān)于無窮整體的任何講話或意謂實際上都是無意義的?！憋@然，同邏輯主義學(xué)派一樣，形式主義學(xué)派也完全否定了討論數(shù)學(xué)本體論問題的必要性，當(dāng)然更不承認(rèn)數(shù)學(xué)對象有任何客觀意義。那么，毫無實際內(nèi)容和客觀意義的形式符號體系如何能應(yīng)用于現(xiàn)實世界呢？形式主義學(xué)派的解釋是：“按數(shù)學(xué)的公理形式說，數(shù)學(xué)是抽象形式——數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的積累，可是實際上不知為什么發(fā)現(xiàn)，實驗情況的某方面好像是由于命運注定會裝進(jìn)某些抽象形式?！边@種回答顯然是沒有說服力的。美國數(shù)學(xué)家布勞德和萊思評論說：“庸俗的形式主義教條甚至極力反對數(shù)學(xué)的任何部分有任何客觀內(nèi)容的可能性。似乎甚至極力反對由歷史決定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義和內(nèi)容，也反對其中的直覺和中心問題。在用數(shù)學(xué)來分析自然現(xiàn)象方面，它原則上使任何有意義的應(yīng)用看上去成為一個奇跡，成為意志對內(nèi)容的一個勝利。正是按照這個庸俗的形式主義數(shù)學(xué)概念使得E·威格納的名言‘?dāng)?shù)學(xué)在物理科學(xué)中不合理的有效性’獲得其心理上的說服力。的確，毫無意義的符號游戲又怎能與物質(zhì)世界的過程有任何內(nèi)在的或重要的聯(lián)系呢？”有些形式主義者，如克里、A·魯濱遜等人，也曾求助于實用的標(biāo)準(zhǔn)。但因與形式主義的原則也沒有必然聯(lián)系，同樣難以說明數(shù)學(xué)的應(yīng)用。由于形式主義學(xué)派否認(rèn)數(shù)學(xué)包含任何客觀內(nèi)容，所以認(rèn)為數(shù)學(xué)體系無真理性可言，只能考慮其可接受性問題。形式主義者把數(shù)學(xué)認(rèn)識活動完全限于認(rèn)識主體自身范圍內(nèi)。在他們看來，數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力是內(nèi)在的原因，也就是對于要解決的問題本身的深入思考，而問題的來源如何關(guān)系不大。他們相信，數(shù)學(xué)思維的演化是以自然的方式進(jìn)展的，甚至可以說是“定做的”，這里存在著一個最適的“自然”進(jìn)化過程。應(yīng)該指出，形式主義學(xué)派并不贊成毫無任何根據(jù)的抽象和形式化、公理化，他們要求解決問題，富有成果。但他們所指的問題絕大部分是數(shù)學(xué)自身的問題。丟東涅說：“這種經(jīng)常地、富有成效地和自然科學(xué)的應(yīng)用緊密相聯(lián)系的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管很重要，其中不少領(lǐng)域并不構(gòu)成真正的數(shù)學(xué)分支的主要部分。”因此，形式主義學(xué)派的很多數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)發(fā)展中經(jīng)驗和應(yīng)用的啟示不屑一顧。有的形式主義者甚至主張，在數(shù)學(xué)教育中也無須引入直覺、經(jīng)驗和應(yīng)用的因素。只要把形式化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系直接灌輸?shù)綄W(xué)生腦子里就成了。這種觀點在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都產(chǎn)生了一定的消極影響。 受形式主義學(xué)派影響而發(fā)展起來的法國布爾巴基學(xué)派，在促使數(shù)學(xué)理論體系進(jìn)一步形式化方面做了大量工作。這個學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)按結(jié)構(gòu)性質(zhì)劃分，運用公理化方法按照結(jié)構(gòu)觀點重新加以整理。所謂“結(jié)構(gòu)”，是一些用若干公理來定義的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。最基本的結(jié)構(gòu)有三種，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。以這三種結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，可以形成各種復(fù)合結(jié)構(gòu)、多重結(jié)構(gòu)、混合結(jié)構(gòu)，等等。全部或絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容都可以歸結(jié)為各種結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的發(fā)展無非是結(jié)構(gòu)的建成或重組而已。依據(jù)這種觀點，布爾巴基學(xué)派對各數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容逐一進(jìn)行分析、概括、抽象，提煉出其中的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并力圖揭示各種數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)上的內(nèi)在聯(lián)系。如果說希爾伯特的元數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)形式化引導(dǎo)到日益抽象的方向，那么布爾巴基學(xué)派則是回過頭來，立足于更高抽象層次來重新認(rèn)識全部數(shù)學(xué)了。布爾巴基學(xué)派力圖向人們澄清“形式化”和“形式主義”的含義，對它們給予正確解釋。他們指出：“重要的是從一開始就要注意防止應(yīng)用這些定義不確切的詞所引起的混亂，以及注意公理方法的反對者也經(jīng)常使用這些詞而引起的誤解。”數(shù)學(xué)的一大堆形式符號和推理程序、公式組合，無非是數(shù)學(xué)自身的語言，是數(shù)學(xué)家賦予他的思想的外部形式。數(shù)學(xué)既不是一串隨便發(fā)展起來的三段論式，也不是一堆“高明”的技巧。公理方法的目的是引導(dǎo)人們尋求這些細(xì)節(jié)下面的深刻的共同的思想。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式原先都是有確定的直觀內(nèi)容的。正是通過小心地扔掉這個內(nèi)容，才有可能賦予這些形式以它們所能顯示的威力，并且使得自身易于接受新的解釋并發(fā)揮出它們?nèi)康耐??！靶问健边@個詞只是在這個意義下才能使公理方法被稱為形式主義。它是數(shù)學(xué)這個有機整體發(fā)育中的營養(yǎng)液，是方便和多產(chǎn)的研究工具。顯然，布爾巴基學(xué)派的觀點同希爾伯特的觀點是基本一致的。應(yīng)該注意，布爾巴基學(xué)派在解釋數(shù)學(xué)的形式與內(nèi)容關(guān)系時，實際上是講兩個問題。其一，數(shù)學(xué)的形式化必須擺脫其直觀內(nèi)容的局限性，這是數(shù)學(xué)抽象思維所必需的。這里講的“形式”與“內(nèi)容”的分離是一般概念與具體事物的區(qū)別。只是由于數(shù)學(xué)思維和語言的特殊性，必須用形式符號表示更高抽象層次的數(shù)量關(guān)系，所以才出現(xiàn)形式化的現(xiàn)象。其二，數(shù)學(xué)的形式符號本身是表示實際思想內(nèi)容的，符號和公式不是主觀隨意的堆砌和技巧的產(chǎn)物，而是表示數(shù)學(xué)領(lǐng)域各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系。這時，“形式”和“內(nèi)容”具有通常的語義，它們是不可分割的。不考慮數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程和現(xiàn)實的內(nèi)容，主觀人為構(gòu)造各種形式系統(tǒng)，玩弄形式符號和公式游戲，顯然是不正確的。布爾巴基學(xué)派堅決反對這種通常意義上的片面的“形式主義”。布爾巴基學(xué)派的辯解，有助于人們正確理解形式主義學(xué)派的主張。實際上，形式主義作為一種現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)主張，主要是強調(diào)數(shù)學(xué)形式化在表達(dá)數(shù)學(xué)抽象思維過程方面的意義，它所謂的“形式”和“內(nèi)容”并非處于同一抽象層次上（有些極端的形式主義者強調(diào)數(shù)學(xué)符號“毫無實際內(nèi)容”，基本上也是就這個意義而言的）。然而，許多人往往把數(shù)學(xué)哲學(xué)中這種有特定含義的形式主義同哲學(xué)上或通常意義上那種片面割裂形式與內(nèi)容的形式主義混為一談，加以批判和排斥。而那種形式主義是形式主義學(xué)派本身也加以反對的（也正因為如此，像希爾伯特、馮·諾伊曼這些人才沒有因主張形式主義而影響其他方面的數(shù)學(xué)研究工作，并且在數(shù)學(xué)與科學(xué)、理論與實踐等方面關(guān)系上持自發(fā)唯物主義觀點。數(shù)學(xué)形式主義的這種特殊性是必須引起注意的）。 布爾巴基學(xué)派工作的具體成果，收入多卷本的巨著《數(shù)學(xué)原本》之中。這部巨著結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、思路清晰，形式化程度相當(dāng)高；使人們能從一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出發(fā)一覽整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的全貌。從認(rèn)識論角度看，布爾巴基學(xué)派提供了一個內(nèi)容極為豐富的“思維中的具體”，這是對現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式化發(fā)展的一個十分必要的總結(jié)，同時又為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。布爾巴基學(xué)派在對待會理化方法的理解和使用上，同早期的一些形式主義者相比，要較為全面、靈活，具有一定的辯證思維特征，這一點后面還要談到。形式主義學(xué)派對數(shù)學(xué)教育的影響發(fā)生較晚，大體上是20世紀(jì)60年代后出現(xiàn)的，這就是前面提到的“新數(shù)學(xué)”運動。這場運動歷時十余年，卻在世界上大部分地區(qū)遭到失敗，其根本原因在于指導(dǎo)思想的錯誤。從認(rèn)識論角度看，抽象思維能力的形成是以直觀的具體事物的觀察分析為基礎(chǔ)的。從感性的具體到理性的抽象，是一個思維發(fā)育的過程。數(shù)學(xué)教育不可能回避這個過程。如果不經(jīng)過對感性具體的觀察分析和對抽象思維能力本身的逐漸培育，單純地灌輸抽象思維的成果，即形式化的數(shù)學(xué)知識，那只能是建造“空中樓閣”，沒有不失敗的。形式主義學(xué)派力圖使數(shù)學(xué)抽象能力擺脫感性直觀的局限，這當(dāng)然是對的。但片面地追求抽象化和形式化程度的提高，使形式主義者忽視了一個基本事實：數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)畢竟不是一回事。一個成熟的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家可以完全擺脫感性直觀內(nèi)容來搞純形式的數(shù)學(xué)研究，但他是經(jīng)歷了一個相當(dāng)長的思維發(fā)育過程才達(dá)到這一境地的。不可能幻想幼兒會一下子接受成年人的思想。同樣，現(xiàn)代的形式化成果對于中小學(xué)生來說也是不好消化的。當(dāng)然，考慮到學(xué)生思維發(fā)育規(guī)律，適當(dāng)加快培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的過程，不僅可能而且必要。這一點后面還要論及?！璗OP 其它信息 裝幀：精裝頁數(shù)：318 版次：2002年1月第2版開本：32開

暫缺《數(shù)學(xué)哲學(xué)引論》作者簡介