復變函數(shù)（修訂版）

第一章 復數(shù)和復函數(shù)
1. 1 復數(shù)
1.
復數(shù)域
2.
復數(shù)的幾何表示
3.
球極投影. 復球面, 無窮遠點. 擴充復平面
習題1. 1
1. 2 復變函數(shù)
1. 復變函數(shù)的概念
2.
復變函數(shù)的極限與連續(xù)性
3.
同倫概念和區(qū)域的連通性
4.
輻角函數(shù)
習題1. 2
1. 3 復數(shù)列和復級數(shù)
1. 復數(shù)列和復數(shù)項級數(shù)
2.
復函數(shù)列和復函數(shù)項級數(shù)
習題1. 3
第一章習題
第二章 解析函數(shù)基礎
2. 1 解析函數(shù)
1.
導數(shù)及其幾何意義
2.
解析函數(shù)概念
習題2. 1
2. 2 一些初等解析函數(shù)
1.
多項式和有理函數(shù)
2.
指數(shù)函數(shù)
3.
三角函數(shù)和雙曲函數(shù)
4.
對數(shù)函數(shù)
5.
冪函數(shù)和根式函數(shù)
6.
初等多值函數(shù)分枝問題
7.
有理函數(shù)的對數(shù)
8.
有理函數(shù)的方根
9.
反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)
習題2. 2
第二章習題
第三章 復積分
3. 1 復積分概念
1.
復積分的定義及計算
2.
復積分的基本性質
習題3. 1
3. 2 基本定理
1.
柯西積分定理
2.
原函數(shù)
習題3. 2
3. 3 基本公式
1.
柯西積分公式
2.
柯西導數(shù)公式
3.
柯西不等式
4.
莫瑞勒 Morera 定理
習題3. 3
3. 4反常復積分
1.
反常復積分的定義
2.
柯西主值積分
3.
高階奇異積分
習題3. 4
第三章習題
第四章 解析函數(shù)的級數(shù)理論
4. 1 一般理論
1.
復函數(shù)項級數(shù)的逐項積分和逐項求導
2.
冪級數(shù)及其和函數(shù)
習題4. 1
4. 2 泰勒展式及惟一性定理
1.
解析函數(shù)的泰勒展式
2.
解析函數(shù)的惟一性
3.
最大模原理
習題4. 2
4. 3 羅朗展式及孤立奇點
1.
解析函數(shù)的羅朗展式
2.
求羅朗展式的方法
3.
解析函數(shù)的孤立奇點
4.
整函數(shù)和亞純函數(shù)
習題4. 3
第四章習題
第五章 留數(shù)理論
5. 1 留數(shù)及其計算
1.
留數(shù)概念
2.
無窮遠點處的留數(shù)
3.
邊界點的情形
習題5. 1
5. 2 留數(shù)定理及其推廣
1.
留數(shù)定理
2.
推廣的留數(shù)定理
習題5. 2
5. 3 應用于積分計算
1.
單值解析函數(shù)的應用
2.
多值解析函數(shù)的應用
3.
高階奇異積分的應用
習題5. 3
5. 4 輻角原理和儒歇 Rouche 定理
1.
輻角原理
2.
儒歇定理
習題5. 4
第五章習題
第六章 解析開拓
6. 1 解析開拓的概念和方法
1.
基本概念
2.
透弧開拓
3.
冪級數(shù)開拓
習題6. 1
6. 2 完全解析函數(shù)及單值性定理
1.
完全解析函數(shù)和黎曼面
2.
單值性定理
習題6. 2
第六章習題
第七章 共形映照
7. 1 分式線性映照
1.
共形性
2.
映照群. 不動點
3.
三對對應點決定分式線性映照
4.
保圓周及側
5.
保對稱點
6.
三個特殊的分式線性映照
習題7. 1
7. 2 共形映照的一般理論
1.
單葉解析函數(shù)的性質
2.
黎曼映照定理
3.
邊界對應定理
習題7. 2
7. 3 幾個初等函數(shù)的映照
1.
指數(shù)與對數(shù)函數(shù)映照
2.
冪函數(shù)映照
3.
儒可夫斯基
函數(shù)映照
4.
余弦函數(shù)映照
習題7. 3
7. 4 綜合實例
1.
已知函數(shù)求映照區(qū)域
2.
已知對應區(qū)域求映照函數(shù)
習題7. 4
第七章習題
第八章 調和函數(shù)
8. 1 調和函數(shù)的概念及其性質
1.
調和函數(shù)與解析函數(shù)的關系
2.
極值原理
3.
波阿松 Poisson 公式及均值公式
習題8. 1
8. 2 狄里克來 Dirichlet 問題
1.
一般狄里克來問題
2.
波阿松積分的性質
3.
圓域上的狄里克來問題
4.
上半平面的狄里克來問題
習題8. 2
8. 3 許瓦茲 Schwarz -克里斯多菲 Christoffel
公式
1.
一般公式
2.
例
習題8. 3
第八章習題
第九章 解析函數(shù)在平面場中的應用
9. 1 解析函數(shù)的流體力學意義
1.
復環(huán)流
2.
復勢
3.
源 匯 點. 渦點
4.
偶極子
習題9. 1
9. 2 柱面繞流與機翼升力計算
1.
圓盤繞流
2.
一般截面繞流
3.
機翼升力計算
習題9. 2