最優(yōu)化原理

　　本書對所謂無限維最優(yōu)化理論的基本內(nèi)容提供一個系統(tǒng)的處理.全書共8章.頭兩章概括了閱讀本書主要內(nèi)容所需的預備知識，其中包括基本的泛函分析結(jié)果與非光滑分析.隨后各章闡述最優(yōu)化理論的基本論題：不等式系統(tǒng)與擇一定理，一階與高階最優(yōu)性條件，對偶理論，向量最優(yōu)化等.本書一方面以緊湊的形式概括了最優(yōu)化理論的標準內(nèi)容，同時介紹了較多的新近研究成果，其中包括作者本人的一些結(jié)果.這部分內(nèi)容涉及近年來引起廣泛關注的一些研究領域，因而可能為有研究興趣的讀者架設起從基礎理論通向研究前沿的橋梁.對于數(shù)學系的高年級大學生及有關理工科專業(yè)的碩士生，本書略加刪節(jié)之后可作為教材使用.在當代科學發(fā)展進程中，對于最優(yōu)化理論的日益廣泛與緊迫的需要，已成為一種引人注目的潮流；有這種需要的科技工作者，將發(fā)現(xiàn)本書可提供一些有用的理論工具.近20年間，如果說有一個詞，它既回響于科學殿堂，又流行于社會各界乃至市井街頭；既閃耀著科學思想的火花，又融會著公眾常識的直覺.那么，這個詞就是優(yōu)化或最優(yōu)化（Optimiza"。n）.無論工程設計，生產(chǎn)經(jīng)營，投資決策，經(jīng)濟運行，人才管理，社會結(jié)構(gòu)，人們都在追求一種至上的境界，追求一種"極致"，這種普遍的沖動最終朝向最優(yōu)化.而且，自然界本身早已按照最優(yōu)化的原則決定其存在形態(tài)與演化方式.綜觀自然與社會，人們確信：最優(yōu)化乃是任何事物趨于平衡時無可逃遁的一條規(guī)則.如此普遍的規(guī)則不可能沒有與之相應的偉大數(shù)學理論！作為一門數(shù)學學科的"最優(yōu)化"，非同尋常地熱乎起來，乃為自然之勢.最優(yōu)化問題可簡單地表述為：在給定條件下求一函數(shù)的極值點.在這種意義上，最優(yōu)化理論源遠流長.然而，只是到20世紀下半葉，關于最優(yōu)化的一些基本結(jié)論才被發(fā)現(xiàn).因此，作為一門獨立數(shù)學學科的最優(yōu)化，乃是最近幾十年間數(shù)學迅速發(fā)展的產(chǎn)物.對一個最優(yōu)化問題的解答自然分為兩個部分.首先，必須回答該問題是否有解及其解集具有何性質(zhì).這方面的研究構(gòu)成"最優(yōu)化理論"，其基本內(nèi)容正是本書所要介紹的.其次，對于一個確知其有解的最優(yōu)化問題，具體求出其（準確或近似）解無疑有重大實際意義.一些愈來愈強有力的算法的涌現(xiàn)，正是近幾十年來最優(yōu)化方法的主要成就之一.這方面的內(nèi)容將在本書的續(xù)著中加以介紹.本書以Banach空間作為處理最優(yōu)化問題的基本空間框架.這看來是一種較合理的選擇，它既不像Euclid空間那樣失之過窄，也不像拓撲向量空間那樣失之過寬.因此，本書所處理的實際上是"無限維最優(yōu)化".本書盡了最大努力來證明：關于"有限維最優(yōu)化"的許多結(jié)論，在某種更為簡潔（因而也更自然）的形式下，也適用于無限維最優(yōu)化.這是一個極令人鼓舞的事實，它不僅帶來了具有高度概括性的統(tǒng)一理論，而且為最優(yōu)化理論應用于數(shù)學物理及控制理論等領域開辟了道路.本書第一章給出全書所需的預備知識.對于"無限維最優(yōu)化"這一課題來說，泛函分析無疑是必需的基本工具.第二章主要是為討論"非光滑最優(yōu)化"作準備的.部分地應最優(yōu)化理論之需要而發(fā)展起來的"非光滑分析"，自身已成為一個內(nèi)容豐富的獨立學科，其應用價值已超出最優(yōu)化理論之外.第三章所處理的"擇一定理"包含了一系列互有聯(lián)系的定理，它們在最優(yōu)化理論中起著十分獨特的作用，被譽為"最優(yōu)化理論的基石"。讀者將會發(fā)現(xiàn)，該章是作者最著力的部分之一，大部分結(jié)果被推進到迄今所知的最強的形式，不少結(jié)果屬于作者且是第一次發(fā)表。我們認為，即使作為一個獨立的研究課題，擇一定理亦有非同尋常的引入之處；它所獨具的優(yōu)美邏輯形式在數(shù)學中是很典型的，第四、五兩章無疑是本書的中心內(nèi)容，其中概括了"單目標最優(yōu)化理論"的主要基本結(jié)果.大部分結(jié)果基于近期文獻，但作了盡可能的改進與整理，因而往往更具一般性或形式更為簡潔.作者相信有一部分結(jié)果實質(zhì)上是新的，當然，其合理性與價值仍有待讀者審驗.第六章所處理的向量最優(yōu)化可分為兩部分：其一是"標量最優(yōu)化"的直接推廣，這部分內(nèi)容雖不可缺少，但不是最有意思的，它反映了一個理論在其發(fā)展進程中的例行擴張.另一部分則是真正體現(xiàn)向量序特色的內(nèi)容，它包含許多遠未完全克服的重大困難，因而對于喜歡應付嚴重挑戰(zhàn)的研究者更具吸引力.對于這樣一個問題與結(jié)果都在不斷涌現(xiàn)的研究領域，本書作者只能謹慎地選擇若干較成熟的材料，以作為對有興趣讀者的初步導引.從邏輯上看，第七章是第四章的自然發(fā)展.但"高階問題"無疑具有更大的難度，因而不可期望與"一階問題"同樣成熟的結(jié)果.實際上，已有多種處理高階最優(yōu)性條件的方法，本書只是選擇了其中的一種而已.本書所用的"高階變分導數(shù)"不失為一個有效工具，以至作者對之情有獨鐘.但作者無意貶斥其他可行的選擇.在任何意義上，本書前七章都不是最優(yōu)化理論的一個全面總結(jié)，因而自然有許多重要內(nèi)容未能涉及.最后的一章似乎應扮演"補遺"的角色，但該章短短的三節(jié)很難起到這種作用.從本書所能容許的篇幅來說，作者至此已該擱筆了，況且，對于那些非專章不能論其詳?shù)闹匾獙ｎ}（例如靈敏度分析），簡略的描述無異于一種輕率.由于已有預備性的第一章，本書基本上是自給自足的.作者并不追求各章的獨立性，而是力圖將全書組織成一個前后連貫的整體.我們認為，不同部分之間的密切聯(lián)系有助于讀者理解本書的內(nèi)容.作者盡了很大努力去簡化對內(nèi)容的處理，其中包括采用一套特別有效的符號.這可能會影響本書的可讀性，但要在一本區(qū)區(qū)二十余萬字的書中容納與本書相當?shù)膬?nèi)容，任何作者在可讀性與簡潔性之間大概都很少有選擇的余地.這使作者能夠聊以自慰.凡想J幀利閱讀本書的讀者，務必瀏覽一下本書卷首的"記號與約定".本書的大部分內(nèi)容曾在華中理工大學數(shù)學系"非線性分析討論班"上討論過，作者衷心感謝討論班成員對于撰寫本書的熱誠支持.著者也衷心感謝華中理工大學出版社領導及編輯為本書順利出版而作的大量努力。

　　胡適耕，湖南湘鄉(xiāng)人，1967年畢業(yè)于湖南大學數(shù)學系，現(xiàn)為華中科技大學數(shù)學系教授、博士生導師。在拓撲格理論、動力系統(tǒng)、非線性分析、最優(yōu)化理論、生物數(shù)學與經(jīng)濟數(shù)學等領域有一系列研究，已發(fā)表論文一百余篇，出版數(shù)學與經(jīng)濟學著作十余本。代表性著作有《非線性分析》、《最優(yōu)化原理》、《全球化》、《泛函分析》等。